Zeigt, dass a2+b2+c2+d2+e2+65=abcdea2+b2+c2+d2+e2+65=abcdea^2+b^2+c^2+d^2+e^2+65=abcde hat ganzzahlige Lösungen größer als 201820182018?

Sie sollen bruteforce oder raten$(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,5)$oder irgendeine andere kleine Lösung, und dann von Vieta nach oben springen . Das heißt, sobald Sie eine Lösung haben, schreiben Sie sie als quadratisches Polynom um$a$(genau wie Sie), und da eine Wurzel ganzzahlig ist, ist es auch die andere. Dann tun Sie das gleiche$b,\;c...$und wiederholen, bis die Wurzeln groß genug sind.

Hier ist die Ausgabe der Maxima- Befehle, die ich verwendet habe, um eine Lösung gemäß der Antwort von Ivan Neretin zu berechnen .

(%i2) ev(x^2-b*c*d*e*x+b^2+c^2+d^2+e^2+65,x = 1,b = 2,c = 3,d = 4,e = 5)

(%o2)                                  0

(%i3) ev(solve(x^2-b*c*d*e*x+b^2+c^2+d^2+e^2+65,x),b = 2,c = 3,d = 4,e = 5)

(%o3)                          [x = 1, x = 119]

(%i4) ev(solve(x^2-b*c*d*e*x+b^2+c^2+d^2+e^2+65,x),b = 119,c = 3,d = 4,e = 5)

(%o4)                          [x = 7138, x = 2]

(%i5) ev(solve(x^2-b*c*d*e*x+b^2+c^2+d^2+e^2+65,x),b = 119,c = 7138,d = 4,e

                                                                            = 5)

(%o5)                        [x = 3, x = 16988437]

(%i6) ev(solve(x^2-b*c*d*e*x+b^2+c^2+d^2+e^2+65,x),b = 119,c = 7138,

         d = 16988437,e = 5)

(%o6)                     [x = 72151760667066, x = 4]

(%i7) ev(solve(x^2-b*c*d*e*x+b^2+c^2+d^2+e^2+65,x),b = 119,c = 7138,

         d = 16988437,e = 72151760667066)

(%o7)              [x = 1041175313471572184867943319, x = 5]

(%i8) ev(solve(x^2-b*c*d*e*x+b^2+c^2+d^2+e^2+65,x),

         b = 1041175313471572184867943319,c = 7138,d = 16988437,

         e = 72151760667066)

(%o8) [x = 9109630532627114315851511163018235051842553960810405, x = 119]

(%i9) ev(x^2-b*c*d*e*x+b^2+c^2+d^2+e^2+65,

         x = 9109630532627114315851511163018235051842553960810405,

         b = 1041175313471572184867943319,c = 7138,d = 16988437,

         e = 72151760667066)

(%o9)                                  0

Dies erweitert die Antwort von @ Ivan Neretin

Das ist mit Vieta-Springen gemeint, wenn es um dieses Problem geht – wir können Vieta-Springen verwenden, um die folgende Behauptung zu beweisen:

Vorschlag 1: Für alle$A \in \mathbb{Z}^+$Es gibt eine Lösung$(a,b,c,d,e)$;$a,b,c,d,e \in \mathbb{Z}^+$zur Gleichung$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+65 = abcde$so dass$A \leq \min\{a,b,c,d,e\}$.

Beweis: Wir behaupten zunächst:

Behauptung 1: Angenommen, es gibt eine Lösung$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+65=120$;$a,b,c,d,e \in \mathbb{Z}^+$, und nehmen wir an, dass WLOG$a= \min\{a,b,c,d,e\}$. Dann gibt es eine Lösung$(a',b',c',d',e')$;$a',b',c',d',e' \in \mathbb{Z}^+$st$a'>a$Und$b'=b,c'=c,d'=d,e'=e$.

[ Beweis von Behauptung 1: Ja, genau dann, wenn es eine ganze Zahl gibt$a'> a$ist, dass Folgendes erfüllt:

$a'^2 + (b^2+c^2+d^2+e^2)+65 > a'(bcde)$.

Dann folgt Anspruch 1. Das Obige ist jedoch eine quadratische Gleichung in$a'$des Formulars$a'^2 - xa' + z$; beide$x$Und$z$positive ganze Zahlen, die mindestens eine ganzzahlige Lösung hat, nämlich$a$, also ist die andere Lösung eine ganze Zahl; als$z$ist mindestens$b^2+c^2+d^2+e^2+65$ $> 4a^2$Und$aa'=z$mit$a$positiv folgt daraus$a'$muss unbedingt größer als sein$4a$. Anspruch 1 folgt also tatsächlich.$\surd$]

Wir stellen fest, dass Satz 1 unmittelbar aus Anspruch 1 und der Existenz mindestens einer Lösung folgt$(a_0,b_0,c_0,d_0,e_0); a_0,b_0,c_0,d_0,e_0 \in \mathbb{Z}^+$so dass die Gleichung$a_0^2+b_0^2+c_0^2+d_0^2+e_0^2+65 = a_0b_0c_0d_0e_0$hält; nämlich$(a_0,b_0,c_0,d_0,e_0) =(1,2,3,4,5)$.$\surd$