Gibt es eine perfekte Quadratzahl n, deren Euler-Totient-Wert ebenfalls ein perfektes Quadrat ist?

Beginnen Sie mit einem perfekten Quadrat, das als positive ganze Zahl n bezeichnet wird . Die Wurzel dieses Quadrats ist k , eine weitere positive ganze Zahl. Also n = k^2 Sei t = totient( n )

Gibt es eine Möglichkeit zu beweisen, dass es keine solche Nummer gibt? Ich weiß, dass Fermat-Primzahlen Totient-Werte haben, die Quadrate sind, aber was ist mit perfekten Quadraten, die ein perfektes Quadrat als Totient-Wert haben?

Und allgemeiner, wenn wir dieses Konzept um eine zusätzliche Einschränkung erweitern, können wir sagen, dass ein Totient-Wert (abgeleitet von einer Quadratzahl) nicht Teil eines pythagoreischen Tripels sein wird?

n = t + a

Wobei a eine andere ganze Zahl ist und die Differenz zwischen n und seinem Gesamtwert ist.

a = n - t

Mit anderen Worten, können n , t und a alle perfekte Quadrate sein?

Wenn dies widerlegbar ist, können wir dann auch den Fall der pythagoreischen Quadrupel widerlegen? Wo sich perfekte Quadrate summieren müssen, um den Gesamtwert eines perfekten Quadrats zu erreichen? Wird die Einschränkung, dass es sich um ein pythagoräisches Tripel/Quadrupel handelt, entfernt und a darf nicht quadratisch sein, ist dies möglich?

Ich bin kein Mathematiker. Ich bin Elektroingenieur und habe die Welt der Zahlentheorie erforscht. Ich finde es faszinierend und habe mir diese Frage gestellt, da ich keine Antwort gesehen habe. Ich glaube, es ist möglich, dass ich hier etwas Einfaches übersehen habe, und es gibt einen "einfachen" Weg zu zeigen, dass solche Dinge nicht sein können. Ich lasse meinen Computer mit roher Gewalt prüfen, ob irgendwelche Totients von n auch quadratisch sind, und bin bis zu den ersten 10.000 perfekten Quadraten gekommen, da ich keine Totient-Zahl habe, die ein perfektes Quadrat ist.

Jeder Einblick wird geschätzt, und es tut mir leid, dass es an Formatierung und formalen Mitteln zur Formulierung meiner Frage fehlt. Ich hoffe, diese Frage ist klar. Ich möchte letztendlich wissen, ob es eine Beziehung zwischen den pythagoreischen Tripeln/Quadrupeln (oder höheren Sätzen) und Eulers Totient-Funktion gibt. Ich frage mich, ob es "zufällig" eine solche Zahl gibt oder ob es unmöglich ist (und warum). Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben, mit mir darüber nachzudenken. Dies ist eine verwandte Frage, aber nicht meine Frage: Pythagoräische Tripel, die Eulers Totient-Funktion "überleben".

Wie wäre es mit 1 .
Guter Punkt, tatsächlich funktioniert die Nummer eins. Es führt jedoch nicht zur Folgefrage des Pythagoreischen Tripels.

Antworten (1)

Neben 1 es gibt kein solches Beispiel. Wenn P ist jede Primzahlteilung k 2 mit Exponent 2 M Dann φ ( k 2 ) wird geteilt durch P mit Exponent 2 M − 1 .

Es ist leicht aus einer direkten Berechnung zu sehen.

Exzellent! Vielen Dank. Ich glaube, ich verstehe.
Jetzt muss ich beurteilen, ob es möglich ist, einen Totient-Wert (abgeleitet von einem perfekten Quadrat) als Summe einzigartiger perfekter Quadrate auszudrücken. Wir haben ausgeschlossen, dass es nicht die Summe eines Quadrats sein kann, aber kann es die Summe von 2 einzigartigen perfekten Quadraten oder 3 sein und so weiter? Ich denke, diese Frage ist schwieriger zu lösen, aber sie könnte auch "einfach" zu beweisen/widerlegen sein. Ich werde nach Beispielen suchen, hoffentlich wird es eine schnelle Entdeckung. Danke für deinen Beitrag.
Ja, ein Beispiel gefunden: k = 10 Wir haben: totient(10^2)= 40 = 2^2 + 6^2
Um dies nun abzuschließen und diese ganze Frage zur Ruhe zu bringen, muss ich ein Beispiel finden (oder widerlegen), dass der Rest a = (n - t) auch die Summe der Quadrate ist (oder selbst ein Quadrat ist). Wenn ja, hätten wir ein pythagoreisches Quadrupel (oder höher), das von den Zahlen n, t und a abgeleitet ist. Ich glaube, das sollte möglich sein und werde nach einem Beispiel suchen.
@user2664280 Wie kommst du 40 aus 10 2 ? Vielleicht ist totient nicht das, was ich darunter verstehe.
@poetasis - das ist einfach; tun, zum Beispiel in Pari/GP, eulerphi(100)und Sie bekommen 40 . Aber vielleicht... ;-)
Aber von einer anderen Primzahl, Q − 1 kann mehr Befugnisse geben P . Dem größten Primfaktor wird das jedoch nicht passieren P
@Empy2 Das stimmt. Ich habe zuerst "größte Primzahl" geschrieben, aber dann habe ich mich selbst erraten und es bearbeitet
Gibt es eine perfekte Quadratzahl n, deren Euler-Totient-Wert ebenfalls ein perfektes Quadrat ist?
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