Finde genau 333 passende primitive pythagoreische Tripel für eine gegebene Hypotenuse

Ich versuche, drei pythagoreische Tripel zu finden A 2 + B 2 = C 2 Wo

A 1 2 + B 1 2 = A 2 2 + B 2 2 = A 3 2 + B 3 2 = C 2 Und A 1 ≠ A 2 , ≠ A 3 ∧ B 1 ≠ B 2 , ≠ B 3

Es ist relativ einfach, pythagoreische Tripel für eine gegebene Hypotenuse zu finden, wenn wir die C-Funktion von Euklids Formel lösen A = M 2 − k 2 , B = 2 M k , C = M 2 + k 2 für k und testen Sie eine Reihe von m-Werten, um zu sehen, welche ganze Zahlen ergeben. Hier ist ein Beispiel mit C = 65 .

C = M 2 + k 2 ⟹ k = C − M 2 für ⌊ 1 + 2 C − 1 2 ⌋ ≤ M ≤ ⌊ C − 1 ⌋
Die untere Grenze gewährleistet M > k und die Obergrenze gewährleistet k ∈ N .

C = 65 ⟹ ⌊ 1 + 130 − 1 2 ⌋ = 6 ≤ M ≤ ⌊ 65 − 1 ⌋ = 8 ∧ M ∈ { 7 , 8 } ⇒ k ∈ { 4 , 1 }
F ( 7 , 4 ) = ( 33 , 56 , 65 ) F ( 8 , 1 ) = ( 63 , 16 , 65 )

ich fand 67 C-Werte wo C = 4 N + 1    für    81 ≤ N ≤ 11925 mit 3 jeweils passende Tripel, aber in allen Fällen hatte eines oder mehrere der Tripel G C D ( A , B , C ) > 1. Ich habe ähnliche Tests für 4-Triples, 5-Tiples, 6-Triples und 7-Triples durchgeführt, aber in allen [meinen zugegebenermaßen begrenzten] Fällen war nur eine gerade Anzahl von ihnen primitiv.

Gibt es 3 und nur 3 primitive Tripel mit gleicher Hypotenuse?

Wie viele primitive Tripel gibt es jeweils? Wie verhält sich dies zur Anzahl unterschiedlicher ungerader Primfaktoren der Hypotenuse? Können Sie einen (nichtlinearen) Zusammenhang zwischen diesen beiden Funktionen erkennen? Können Sie angesichts dieser Korrelation jemals 3 erreichen? Oder 5 oder 6?
In separaten Tests habe ich festgestellt 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , Ö R 7 verdreifacht sich für einen gegebenen C-Wert. Zum Beispiel ergibt C=325 diese Tripel, aber nur zwei sind primitiv.
F ( 15 , 10 ) = ( 125 , 300 , 325 ) F ( 17 , 6 ) = ( 253 , 204 , 325 ) F ( 18 , 1 ) = ( 323 , 36 , 325 )
Wie viele primitive Tripel jeweils? Für 325 Sie sagen, es gibt zwei. Und es Faktoren wie 5 2 × 13 . Für 125 du bekommst nur einen. Das hat nur den Primfaktor 5 . Wenn Sie getestet haben 1105 = 5 × 13 × 17 Ich wette das Haus, dass du vier primitive Dreierzimmer hast. Und für 32045 = 5 × 13 × 17 × 29 Ich "vermute", dass Sie ... acht bekommen.
Ich kann andere als finden 3 verdreifachen, aber nicht 3 . Zum Beispiel kann ich genau finden 4 Primitive für jeden dieser C-Werte. Ich suche 3 und nicht mehr als 3 . 1105 , 1885 , 2405 , 2465 , 2665 , 3145 , 3445 , 3485 , 3965 , 4505 , 5185 , 5365 , 5785 , 5945 , 6205 , 6305 6409 , 6565 , 7085 , 7345 , 7565 , 7585 , 7685 , 8177 , 8245 , 8585 , 8845 , 8905 , 9061 , 9565 , 9605 , 9685 9805 , 10205 , 10585 , 10865 , 11245 , 11285 , 11645 , 11713 , 11765 , 12505 , 12545 , 12665 , 12805 , 12905 13345 , 13481 , 13505 , 13949 , 14065 , 14645 , 14705 , 14885 , 14965 , 15145 , 15385 , 15457 , 15665 , 15805
mathoverflow.net/questions/375295/… Schauen Sie sich meinen Kommentar dort an.
Wenn C = P 3 Wo P ist primkongruent 1 Mod 4 , dann gibt es 3 Tripel mit der gleichen Hypotenuse wie folgt. Lassen P = A 2 + B 2 . C 2 = ( 6 A 5 B − 20 A 3 B 3 + 6 A B 5 ) 2 + ( A 6 − 15 A 4 B 2 + 15 A 2 B 4 − B 6 ) 2 = ( 2 A B 5 + 2 A 5 B + 4 A 3 B 3 ) 2 + ( A 6 − A 2 B 4 − B 6 + A 4 B 2 ) 2 = ( − 4 A 5 B + 4 A B 5 ) 2 + ( A 6 − 5 A 4 B 2 − 5 A 2 B 4 + B 6 ) 2 Jedoch hat eines der Paare einen gemeinsamen Faktor.

Antworten (1)

Meine Vermutung ist, dass es Lösungen nur dann gibt, wenn C besteht aus 4 N + 1 -Typ Primzahlen und die Anzahl der primitiven Tripel mit C wie Hypothenuse ist 2 P − 1 Wo P ist die Zahl von 4 N + 1 -Typ Faktoren von C .

Exponenten ändern nicht die Anzahl der Tripel, dh 5 ⋅ 13 3 ⋅ 29 2 hat die gleiche Anzahl (vier) primitiver Tripel wie 5 ⋅ 13 ⋅ 17 .

Das ist keine Vermutung. Es ist eine bekannte Tatsache. Um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie die Macht von 2 bewiesen ist, gehe zu Gaußschen ganzen Zahlen und betrachte die Produkte ( 2 ± ich ) 2 ( 3 ± 2 ich ) . Mit allen Kombinationen von ± Zeichen bekommt man alle primitiven Formen A + B ich Wo A 2 + B 2 = 5 2 × 13 = 325 . Du hast 2 2 Vorzeichenkombinationen aber, da komplex konjugierte Paare die gleichen Absolutwerte für haben A Und B , nur die Hälfte bzw 2 1 sind verschiedene Tripel. Können Sie verallgemeinern?
@Oscar Lanzi Danke. Und die Tatsache, dass es keine Tripel gibt, wenn C enthält 4 k + 3 -ähnliche Faktoren?
Kannst du Nicht-Null-Residuen finden? Mod 3 weiße Quadrate summieren sich zu Null? Wenn Sie das nicht können, kümmern Sie sich nicht um primitive Tripel, bei denen die Hypotenuse ein Vielfaches von ist 3 , und auch das lässt sich verallgemeinern.
Schließlich gibt es noch den Hauptfaktor 2 . Wir haben 1 2 + 1 2 ≡ 0 Mod 2 Und 1 ± ich | 2 in Gaußscher Ganzzahl, aber keine primitiven Tripel. In der Gaußschen Ganzzahltheorie müssen Sie die Compkex-Zahl quadrieren A + B ich um tatsächlich die Beine des Dreiecks zu bekommen, und zwar mit 1 ± ich ergibt einen Null-Realteil, der ein primitives Tripel für eine gerade Hypotenuse verhindert. Es hängt damit zusammen, dass der Komplex konjugiert 1 ± ich sind jeweils eine Einheit multipliziert mit der anderen, was wahr ist, wenn es kein anderes konjugiertes Gauß-Primzahl-Paar gibt.
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