Warum hat Euklid nicht versucht, Längen Zahlen zuzuordnen?

Vorbemerkung: Mit „Euklid“ meine ich keine Person, sondern die Mathematiker der euklidischen Zeit, für die Euklid (falls er eine Person gewesen wäre) ein Vertreter war.

Ich stelle mir vor, dass Euklid darüber nachdenken könnte, Längen und Zahlen auf bijektive Weise in Beziehung zu setzen, obwohl sie als völlig unterschiedliche Dinge angesehen wurden. Für rationale Längen hätte es funktioniert, weil es für jede rationale Länge eine Zahl gibt (die für Euklid notwendigerweise rational war) und umgekehrt.

Aber leider gibt es konstruierbare Längen, die nachweislich nicht rational sind (zB die Länge der Diagonalen des Einheitsquadrats) und denen Euklid keine (rationale) Zahl zuordnen konnte. Das mag also der Hauptgrund gewesen sein, warum er den Plan (wenn er denn einen hatte) aufgab, Längen und Zahlen bijektiv in Beziehung zu setzen: Es gab nicht genug Zahlen.

Aber es könnte noch einen (zugegebenermaßen spekulativen) Grund gegeben haben: Damit die Zuordnung funktioniert, muss man ein beliebiges Liniensegment auswählen und seiner Länge die Zahl 1 (die Einheit ) zuweisen. Mochte Euklid möglicherweise die Willkür nicht, die "ursprüngliche" Einheit (aus dem Reich der platonischen Wesenheiten, aus der alle Zahlen aufgebaut sind) einem "zufälligen" Linienabschnitt (aus dem Reich der "irdischen" Wesenheiten) zuzuordnen?

Beachten Sie aber, dass er (in Definition VII.1 ) nicht die Einheit definiert, sondern eine Einheit. Das kann also nicht der Grund gewesen sein. Aber es stellt sich die Frage, warum er die Einheit nicht definiert hat , was viel intuitiver erscheint. (Wie hätte er zwischen verschiedenen Einheiten unterscheiden können?)

Alternativ hätte er mit zwei „ursprünglichen“ Punkten – 0 und 1 genannt – beginnen können, von denen alle anderen Punkte und Längen mit Lineal und Zirkel konstruiert werden können , und der Länge des ausgezeichneten „ursprünglichen“ Liniensegments die Zahl 1 zuweisen können 01 ¯ – aber das ist noch spekulativer.

Ich gebe zu, dass ich Euklids Denkweise völlig missverstehen könnte. Jeder Hinweis, in welcher Hinsicht ich dies tue, wäre willkommen.

Zu meiner Verteidigung: Euklids Definition VII.1 ist wirklich ziemlich obskur:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung einQuelle

Eine Einheit ist das, kraft dessen jedes existierende Ding eins genannt wird.
Quelle

Natürlich können wir nicht alles definieren. Es gibt stark unterstützte Gründe zu der Annahme, dass die "grundlegenden" Definitionen von Euklids Elementen spätere Ergänzungen sind. Siehe L. Russo, The Definitions of Fundamental Geometric Entities Contained in Book I of Euclid's Elements .
Sie müssen auch die Größentheorie des Buches V berücksichtigen .
Siehe DH Fowler, RATIO IN EARLY GREEK MATTHEMATICS (1979) für Arithmetik und Logistik .
In einem Wikipedia-Artikel über DH Fowler fand ich: "Seine Theorie, die der überkommenen Ansicht widersprach, dass die Entdeckung der Inkommensurabilität auf die griechische Mathematiker einen Schock bewirkt hätte, der sie dazu gebracht, sich rein geometrischen Theorien zuzuwenden, war umstritten."
Übersetzung: "Seine Theorie - die der traditionellen Ansicht widersprach, dass die Entdeckung der Inkommensurabilität ein Schock für die griechischen Mathematiker war und sie auf rein geometrische Theorien konzentrieren ließ - war umstritten."
Ich bin kein Spezialist, aber auf den ersten Blick ist es (ziemlich) offensichtlich, dass Euklids Elemente aus verschiedenen Schichten aufgebaut sind: ebene Geometrie, Arithmetik (dh "reine" Zahlentheorie (Natural)), Größen- und Verhältnistheorie. Die reine Arithmetik war wahrscheinlich pythagoreischen Ursprungs: gerade-ungerade usw., aber die Theorie der Größen kann als „Abstraktion“ der „praktischen“ Verwendung von Zahlen zum „Messen“ und Zählen gelesen werden.
Aus physikalischer Sicht ist es intuitiver, von einer Längeneinheit als von der Längeneinheit zu sprechen, da es keine universelle Länge gibt, auf die sich alle einigen können, um die Einheit zu nennen. (Vielleicht die Planck-Länge, aber das war Euklid unbekannt.) Bevor die Leute anfingen, Längeneinheiten zu standardisieren, hatte jede Stadt im Grunde ihre eigene Definition von Elle oder Fuß, also muss es offensichtlicher gewesen sein, dass es keine eindeutige Längeneinheit gibt als heute.

Antworten (1)

Sie geben den Hauptgrund richtig an. Zur Zeit von Euklid waren die einzigen bekannten Zahlen rationale Zahlen, und es wurde entdeckt, dass man in Geometrie konstruierte Segmente nicht mit rationalen Zahlen messen kann. Daher wurden Zahlen in der Geometrie aufgegeben.

Stattdessen entwickelte Euklid (oder seine Vorgänger) eine hochentwickelte Theorie der Proportionen, die nachweislich unserer Theorie der reellen Zahlen entspricht. So könnten sie zum Beispiel über Länge und Fläche eines Kreises sprechen. Nach Euklid dauerte es zweieinhalb Jahre, um eine zufriedenstellende Theorie der reellen Zahlen zu entwickeln. Euklid konnte also einfach keine "Zahlen Längen zuordnen".

Ich empfehle ein sehr schönes Buch, das diese Dinge behandelt: R. Hartshorne, Companion to Euclid, AMS, 1970.

Wie kann die Theorie der Proportionen als äquivalent zu unserer Theorie der reellen Zahlen gezeigt werden, wenn die erstere nicht einmal die Addition der Proportionen definiert hat? Ganz zu schweigen davon, dass Proportionen nur auf konstruierte Segmente angewendet werden können, die mit Euklids Werkzeugen weit weniger als reelle Zahlen ergeben würden. Und noch viel weniger, selbst wenn wir Neusis und mechanische Kurven einwerfen.
Proportionen können für beliebige Segmente definiert werden, kommensurabel oder nicht, das ist der springende Punkt. Das Hinzufügen von Segmenten kann sehr einfach geometrisch definiert werden. Einzelheiten finden Sie in dem von mir erwähnten Buch. Oder schauen Sie in Euklid, Buch V nach, insbesondere in Proposition 4.
@Conifold: Es ist eine einfache Übung, dass Proposition V.4 Dedekinds Definition einer reellen Zahl entspricht. Aber natürlich ist es viel komplizierter als das von Dedekind.
Hinzufügen von Segmenten , nicht ihrer Verhältnisse , Sie müssten ein "Einheits" -Segment reparieren, um eines auf das andere zu reduzieren. Das ergab für die Griechen keinen Sinn, nicht einmal für Archimedes, und taucht erst bei Descartes auf. Dedekind konstruiert reelle Zahlen als Schnitte, diese hypostatische Abstraktion ist sein großer Sprung, an den nichts Griechisches heranreicht. Dass er den eudoxischen Trick von V.4 (der die Gleichheit der Verhältnisse für vorkonstruierte Größen beweist) wiederverwendet, verblasst im Vergleich dazu. Ich denke, was Sie mit "äquivalent" meinen, ist "Theorie der Verhältnisse kann in ein Fragment der realen Analyse mit einigen Parallelen in Beweisen übersetzt werden".
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