Existenz primitiver pythagoräischer Tripel

Die ungerade Zahl$45$ist eine Summe von zwei Quadraten, aber nicht von zwei teilerfremden Quadraten.

Lassen Sie im Allgemeinen die ungerade Zahl$n$Form haben$p_1^{2a_1}\cdots p_k^{2a_k}m$, bei dem die$p_i$sind Primzahlen kongruent zu$3$modulo$4$, Und$m$ist ein Produkt von Primzahlen, die zu kongruent sind$1$modulo$4$. Dann$n$ist eine Summe zweier Quadrate, aber nicht die Summe zweier teilerfremder Quadrate.

$$\text{For any C, if } n=\frac{-1\pm \sqrt{2C-1}}{2}\text { yields an integer for }n, \text{then you have a primitive triple.}$$

$$A=2n^2+1\quad B=2n^2+2n\quad C=2n^2+2n+1 \text{ where }C-B=1$$

$$\text{If }n=\sqrt{\frac{C-1}{4}}\text{ yields an integer for n, you have a primitive triple.}$$

$$A=4n\quad B=4n^2-1\quad C=4n^2+1\quad \text{where }C-B=2$$

Ansonsten

$$C=m^2+n^2\Rightarrow n=\sqrt{C-m^2}\text{ where } \biggl\lceil\sqrt{\frac{C}{2}}\space\space\biggr\rceil \le m\le\bigl\lfloor\sqrt{C}\bigr\rfloor$$ Für alle nicht ganzzahligen$n$, dieser Wert von$C$ist nicht Teil eines Primitivs. Für jeden ganzzahligen Wert von$n$Dann$C$entweder Teil eines Primitivs oder eines Vielfachen ist, wobei das Vielfache eines von beiden ist$2$oder ein perfektes Quadrat. Der einzige Weg, um sicher zu sein, besteht darin, sie mit der Formel von Euklid zu generieren und den ggT zu testen.

Zum Beispiel; lassen$C=25$Dann$m_{min}=\lceil\sqrt{12.5}\space\rceil=4$Und$m_{max}=\lfloor\sqrt{25}\rfloor=5.$Wir können das sehen$\sqrt{25-16}=3$Und$f(4,3)=(7,24,25)$. Das können wir aber auch durch Besichtigung feststellen$m=5$führt zu einer trivialen Lösung. Das passiert nur wann$C$selbst ist ein perfektes Quadrat.