Bestimmen der Anzahl der Möglichkeiten, wie eine Zahl als Summe von drei Quadraten geschrieben werden kann

Legendre gab die folgende Antwort, die er nicht beweisen konnte (Gauß gab den ersten Beweis des 3-Quadrate-Theorems). Der Einfachheit halber werde ich nur den Fall von Zahlen behandeln$c \equiv 5 \bmod 8$. Betrachten Sie in diesem Fall die Äquivalenzklassen von Formen mit Diskriminante$-4c$; wie Legendre werden wir die Äquivalenz in Bezug auf die Wirkung von GL betrachten$_2({\mathbb Z})$. Lassen$P$bezeichnen die Formklassen, die Primzahlen darstellen$p \equiv 1 \bmod 4$, Und$Q$diejenigen, die Primzahlen darstellen$q \equiv 3 \bmod 4$. Dann die Anzahl der Klassen$P$entspricht dem der Klassen$Q$, und auf die Anzahl der Möglichkeiten, in denen$c$kann als Summe von drei Quadraten geschrieben werden.

Wenn$c = 29$, die Klassen$P$Sind$x^2 + 29y^2$Und$5x^2 + 2xy + 6y^2$, und diese entsprechen den beiden unterschiedlichen Schreibweisen$29$als Summe von drei Quadraten:$29 = 0^2 + 2^2 + 5^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2$.

Legendre vermutete ähnliche Formeln für andere Werte von$c$, die später von Gauß bewiesen wurden, aber Klassen in Bezug auf die Wirkung von SL verwenden$_2({\mathbb Z})$.

Für das Gleichungssystem.

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=x_4^2+x_5^2+x_6^2=x_7^2+x_8^2+x_9^2=x_{10}^2+x_{11}^2+x_{12}^2$$

Lösungen können parametrisiert werden.

$$x_1=a(y^2+z^2+n^2)(p^2+s^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_2=b(y^2+z^2+n^2)(p^2+s^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_3=c(y^2+z^2+n^2)(p^2+s^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_4=(ay^2-2byn+az^2-2czn-an^2)(p^2+s^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_5=(bz^2-2cyz-by^2-2ayn+bn^2)(p^2+s^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_6=(cy^2-2byz-cz^2-2azn+cn^2)(p^2+s^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_7=(ap^2-2bpn+as^2-2csn-an^2)(y^2+z^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_8=(bs^2-2cps-bp^2-2apn+bn^2)(y^2+z^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_9=(cp^2-2bps-cs^2-2asn+cn^2)(y^2+z^2+n^2)(k^2+t^2+n^2)$$

$$x_{10}=(ak^2-2bkn+at^2-2ctn-an^2)(y^2+z^2+n^2)(p^2+s^2+n^2)$$

$$x_{11}=(bt^2-2ckt-bk^2-2akn+bn^2)(y^2+z^2+n^2)(p^2+s^2+n^2)$$

$$x_{12}=(ck^2-2bkt-ct^2-2atn+cn^2)(y^2+z^2+n^2)(p^2+s^2+n^2)$$

Es ist interessant, dass solche Tripel zu viel sein können. Die Formel kann beliebig erweitert werden. Das heißt nicht nur für 4 Partitionen zu schreiben, sondern für beliebig viele. Die Hauptsache, dass alle Variablen nicht identisch waren.

Sie können Folgendes versuchen:

check=new Array();
for (i=1;i<12;i++)
for (j=i;j<12;j++)
for (k=j;k<12;k++) {
n=i*i+j*j+k*k;
if (!check[n]) check[n]=0;
check[n]++;
}
for (a=0;a<check.length;a++)
if (check[a]>=4) console.log(a);

was beweist$129$ist die kleinste derartige Zahl, gefolgt von:

$$134=11^2+3^2+2^2=10^2+5^2+3^2=9^2+7^2+2^2=7^2+7^2+6^2$$

Sie können die Anzahl der Darstellungen durch bestimmen$3$Quadrate durch Subtrahieren von Quadraten von$N$, und verwenden$\sum_\limits{x\le \sqrt{N}} r_2(N-x^2)$, Wo$r_2$ist die Summe von (zwei) Quadraten Funktion .