Perfektes Quadrat als Summe zweier perfekter Quadrate

Dies ist die Gliederung des Beweises aus dem Buch "Proofs from THE BOOK" (S.17-22) von Aigner, Martin, Ziegler, Günter M. Es ist zu lang, um einen Kommentar hinzuzufügen, also füge ich ihn hier ein. Bitte nicht dafür stimmen.

Lemma 1. Für Primzahlen$p=4m+1$Die gleichung$s^2\equiv -1$(Mod$p$) hat zwei Lösungen$s\in\{1,2,\dots,p-1\}$, für$p=2$es gibt eine solche Lösung, während für Primzahlen der Form$4m+3$es gibt keine Lösung

Lemma 2. Keine Zahl$n=4m+3$ist eine Summe zweier Quadrate.

Vorschlag. Jede Primzahl der Form$p=4m+1$ist eine Summe von zwei Quadraten, das heißt, es kann geschrieben werden als$p=x^2+y^2$für einige natürliche Zahlen$x,y\in\mathbb{N}$

Satz. Eine natürliche Zahl$n$kann genau dann als Summe zweier Quadrate dargestellt werden, wenn jeder Primfaktor der Form$p=4m+3$erscheint mit einem geraden Exponenten in der Primzahlzerlegung von$n$.

Der Beweis ist nicht sehr schwierig, wenn man die Zerlegung von Primzahlen im Gaußschen Ring verwendet$\mathbf Z [i]$:$2$ist verzweigt, die ungeraden Primzahlen$p\equiv -1$Mod$4$bleiben Primzahlen ("inert") und die Primzahlen$p\equiv 1$Mod$4$sind "zerlegt" als$p=u\pi \bar \pi$, Wo$u=\pm 1, \pm i$Und$\pi , \bar \pi$sind zwei konjugierte Primzahlen von$\mathbf Z [i]$. Das Nehmen von Normen ergibt sofort den klassischen Satz von Fermat$2$und das$p\equiv 1$Mod$4$sind Summen zweier Quadrate. Daraus folgt ohne weiteres, dass eine ganze Zahl$m=\prod {p_i} ^{a_i}$ist eine Summe zweier Quadrate iff$a_i$ist sogar wann immer$p_i \equiv -1$Mod$4$: nur zerlegen$m$In$\mathbf Z [i]$(das ist ein Hauptbereich) und nehmen Sie die Normkarte (die multiplikativ ist).