Explizite nichttriviale Beispiele in der Quantenmechanik: Grundzustandsentartung

Grundzustandsentartung tritt immer dann auf, wenn es einen einheitlichen Operator gibt, der nicht trivial auf einen Grundzustand einwirkt und mit dem Hamiltonoperator des Systems pendelt.

Ich möchte nur ein Potenzial finden v ( r ) , nicht notwendig das zentrale Potential, so dass Schrödinger-Gleichung in d-dimensional (keine internen Freiheitsgrade wie Spin)

E Ψ ( r ) = [ − ℏ 2 2 μ ∇ 2 + v ( r ) ] Ψ ( r )
hat einen entarteten Grundzustand.

Ich habe viele Wege versucht, bin aber gescheitert.

1 Zum Beispiel bei gegebenem Potential v ( r ) , und Eigenenergie lösen E 0 , E 1 ⋯ . Ich möchte konstruieren H ' = H − ( E 1 − E 0 ) | 1 ⟩ ⟨ 1 | , aber dieser Teil ( E 1 − E 0 ) | 1 ⟩ ⟨ 1 | in der Positionsdarstellung ist kein lokales Potential.

2 Sicherlich ist es einfach, ein endlichdimensionales Quantensystem mit entartetem Grundzustand zu konstruieren, d. h. wir können die Hamilton-Matrix als Diagonalmatrix mit mehreren niedrigsten Eigenwerten schreiben H = d ich a g ( E 0 , E 0 , E 1 ) . Aber ich will diesen trivialen Weg nicht.

3 Es ist auch einfach, quantenmechanische Systeme mit internen Freiheitsgraden wie Spin zu konstruieren. Und innere Freiheitsgrade haben keine Dynamik. Zum Beispiel Wasserstoffmodell mit Spin-Freiheitsgrad. Für niedrigste Energie n = 1 , l = 0 , wir können haben s = ± 1 / 2 mit gleicher Energie. Auch dieser Weg ist trivial.

4 Und wir wissen, dass der Streuzustand in 1-dim kontinuierliche Spektren hat und jeder Zustand doppelt entartet ist. Ich möchte konstruieren v ( r ) ≥ 0 so dass

lim | r | → ∞ v ( r ) → 0
Obwohl alle E > 0 Entartung haben, E = 0 ist immer noch einzigartig.

5 Sicherlich, in 1-dim if v ( x ) ein doppelt unendlich tiefes Potential ist, können wir einen entarteten Grundzustand haben. Aber auch dieses Beispiel ist trivial.

6 Das Potential mit spontan gebrochenen Symmetrien, z v ( x ) = − x 2 + x 4 , ist auch unmöglich. Es gibt eine Energielücke zwischen gerader Parität und ungerader Parität.

Meine Frage ist also, abgesehen von den obigen trivialen Beispielen, ob wir ein Beispiel konstruieren können, das heißt, in d-dim kann ein Teilchen ohne internen dof, wie Spin, in einem gewissen Potential einen entarteten Grundzustand haben.

Diese Frage kann eine Frage in der partiellen Differentialfunktion sein. Wenn so v ( r ) existiert nicht, wie zu beweisen.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Frage verstehe: Würde ein symmetrisches Doppelwellpotential die Arbeit erledigen? Jedenfalls kann man einen entarteten Zustand als inneren Freiheitsgrad bezeichnen, wenn man will. Ich bin mir nicht sicher, ob die Nomenklatur in diesem Fall vollständig unter Kontrolle ist. Was wäre ein interner Freiheitsgrad? Was wäre ein entarteter Zustand, wenn nicht ein Zustand, der sich unter der Wirkung eines Operators, der mit dem Hamiltonoperator kommutiert, nicht trivial transformiert? Für das symmetrische Doppelmuldenpotential ist der Operator Rauminversion: beide Wellenfunktionen Ψ ( x ) und Ψ ( − x ) die gleiche Energie geben.
Um einen entarteten Zustand als internen Freiheitsgrad zu konstruieren, nehmen Sie an, Sie haben ein doppeltes Wannenpotential. Es hat einen entarteten Zustand im Falle eines symmetrischen Potentials, und die beiden zugehörigen Zustände sind nicht entartet, wenn das Potential gekippt wird (dh es wird asymmetrisch). Diese Zustände sind von den übrigen Eigenzuständen durch eine Lücke getrennt (da wir über die Quantenmechanik diskutieren, diskutieren wir nur Energieniveaus ( keine Bänder), und daher existieren immer Lücken ...). Wenn Sie nun Ihr Modell auf die niedrigsten Eigenzustände projizieren, erhalten Sie ein Bloch-Kugelbild, das Sie mit Pauli-Matrizen darstellen können.
Anders gesagt, der Raum zweifach entarteter Zustände ist isomorph zum Zwei-Niveau-System. Ich sollte ein bisschen mehr nachdenken, um einen expliziten Isomorphismus aufzuschreiben (und vielleicht ist es eine Frage wert), aber das ist eindeutig eine grundlegende Sache in der Quantenmechanik. Öffnen Sie ein beliebiges Buch über das Zwei-Ebenen-System, Sie sollten diese Aussage sehen.
@FraSchelle Ich möchte nur ein Potential konstruieren v ( r ) . Das zentrale Potential ist nicht erforderlich, und das Problem ist in 1-dim nicht erforderlich. In diesem Potential kann die Schrödinger-Gleichung einen entarteten Grundzustand haben.
Hätte gedacht, Sie brauchen eine unendliche potenzielle Energiebarriere, die das Tunneln verhindert, um eine Entartung zu erreichen. Betrachten Sie andernfalls lokalisierte Zustände, die mit den Minima eines gewissen Potentials verbunden sind, ψ ich ( r ) . Man kann, glaube ich, immer die Energie senken, indem man sich eine Linearkombination ansieht ∑ ich c ich ψ ich ( r ) . Bei dem oben erwähnten symmetrischen Doppelwannenpotential wäre der (einzigartige) Grundzustand ( ψ 1 ( r ) + ψ 2 ( r ) ) / 2 .
@user2309840 Danke. Countdown zum dritten Absatz, ich habe diese Möglichkeit ausgeschlossen.
@ user2309840 Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Konstruktion verstehe: Angenommen ψ 1 und ψ 2 sind entartete Eigenzustände verifizierend H ψ 1 , 2 = E ψ 1 , 2 , dann klar ( ψ 1 + ψ 2 ) / 2 ist auch ein Eigenzustand, er hat einen Eigenwert 2 E , höher als entweder der Eigenwert von ψ 1 oder ψ 2 ...
@ user34669 Ich bin mir nicht sicher, ob ich deinen vorherigen Kommentar verstehe. v ( x ) = − x 2 + x 4 ist das Doppelmuldenpotential explizit (fügen Sie einige Nicht-Einheitsparameter vor x 2 , 4 wenn Sie wünschen). Möchten Sie diese Möglichkeit ignorieren, weil sie 1D und paritätssymmetrisch ist? Oder reicht es dir?
@FraSchelle Sie werden keine exakten Eigenzustände sein. Bestenfalls sind es näherungsweise Eigenzustände, und man kann mit dem Variationsansatz einen Zustand mit niedrigerer Energie finden ( ψ 1 + ψ 2 ) / 2 .
Hier gibt es eine relevante Diskussion: mathoverflow.net/questions/27016/…
@FraSchelle Sie können dieses Potenzial überprüfen, der Grundzustand ist immer noch eindeutig. Der Grundzustand ist gerade Parität, und die Eigenenergie der ungeraden Parität ist größer als die der geraden.

Antworten (1)

Für hamitonische Operatoren wie diese Form − Δ + v ( x ) , der Grundzustand ist immer Nicht-Entartung in n -dim wenn das Potential stetig und von unten begrenzt ist und let − Δ + v ( x ) im Wesentlichen selbstadjungiert sein. Sie können den Beweis in James Glimm und Arthur Jaffes Quantum Physics sehen . Oder sehen Sie sich den Beweis an .

Wenn Sie den Hamitonian nicht auf diese Form beschränken ( − Δ + v ( x ) ), dann ist es einfach, den Entartungsgrundzustand zu konstruieren, wenn Sie ein Magnetfeld einsetzen. siehe Landau-Ebene.

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