Warum sind Orbitale nicht symmetrisch?

Meine Antwort überschneidet sich stark mit der früheren Antwort von NoEigenvalue, ist aber für einen Kommentar zu lang geworden.

Die Orbitale sind durch die Menge an Drehimpuls getrennt, die sie tragen. Kein Drehimpuls,$\ell=0$, werden genannt$s$-Orbitale und sind kugelsymmetrisch. Die ersten beiden Beispiele in Ihrer Abbildung sind$s$-Orbitale mit$n=1$Und$n=2$.

Drehimpuls bricht explizit die Kugelsymmetrie, also die Orbitale mit$\ell\neq0$ kann nicht kugelsymmetrisch sein. Wenn Sie eine Achse als Ihre definieren$z$Richtung, die Wellenfunktion mit$m=0$hat den Wert Null in der$x$-$y$Ebene, ein Zeichen oben, das andere Zeichen unten. Die Wellenfunktion mit$m=+1$hat seine maximale Größe auf einem Ring in der$x$-$y$Ebene, wobei die Phase der Wellenfunktion beim Kreisen zunimmt$z$-Achse geht in eine Richtung; die Wellenfunktion mit$m=-1$hat seine Phase, die zunimmt, wenn Sie umkreisen$z$-Achse in die andere Richtung. Dies entspricht$m=\pm1$Wellenfunktionen, die Teilchen darstellen, die umkreisen$z$-Achse und$m=0$Wellenfunktionen, die Teilchen darstellen, deren Drehimpulsvektoren im liegen$x$-$y$Ebene.

Etwas verwirrenderweise trägt die meiste Diskussion über Orbitale online eine ziemlich starke chemische Tendenz, bei der die Richtung des Drehimpulsvektors normalerweise nicht so kritisch ist wie die räumliche Verteilung der Ladung. Es stellt sich heraus, dass, wenn Sie nur die beiden Orbitale mit addieren$m\neq0$Sie erhalten am Ende eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die genau wie die aussieht$m=0$orbital, aber entlang der orientiert$x$-Achse statt der$z$-Achse; Dies wird normalerweise als a bezeichnet$p_x$Orbital, im Gegensatz zu$p_z$. Ebenso, wenn Sie die Orbitale mit einer relativen Phase von hinzufügen$i=\sqrt{-1}$, Sie am Ende mit$p_y$. Das steht in deiner Figur:$p_x, p_y, p_z$. Jeder von ihnen hat$\ell=1,m=0$, nur entlang einer anderen Achse, was die Interpretation des Drehimpulses verwirrender macht.

Sie werden zufrieden sein, das zu wissen, wenn ich ein Teilchen mit habe$\ell=1$aber absolut keine Information über die Orientierung dieses Drehimpulses, dann befindet sich mein Teilchen in einer gleichmäßigen Mischung aus$p_x, p_y, p_z$und seine Wahrscheinlichkeitsverteilung wird kugelsymmetrisch .

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Sie fragen in einem Kommentar nach etwas mehr Details zu Zeichen und Phasen. Wir können explizit sein : Abgesehen von einem Normalisierungskoeffizienten, dem $\ell=1$sphärische Harmonische sind $$\begin{align} Y_1^{-1}(\theta,\phi) &\propto e^{-i\phi} \sin\theta &&= \frac{x-iy}{r} \\ Y_1^{0}(\theta,\phi) &\propto \cos\theta &&= \frac{z}{r} \\ Y_1^{+1}(\theta,\phi) &\propto -e^{i\phi} \sin\theta &&= -\frac{x+iy}{r} \end{align}$$ Hier $x,y,z$sind die üblichen Ortskoordinaten, $r$ist die Länge eines Vektors $\vec r$deren Bestandteile sind $(x,y,z)$, der Winkel $\theta$ist zwischen $\vec r$und das $z$-Achse und der Winkel $\phi$liegt zwischen der Projektion von $\vec r$auf die $x$- $y$Flugzeug und die $x$-Achse. Die vollständige Wellenfunktion enthält auch den radialen Anteil $$\psi_{n\ell m} = R_{n\ell}(r) Y_\ell^m(\theta,\phi)$$ wo die radialen Wellenfunktionen die Form haben $$R_{n\ell}(r) \propto r^{n-1} e^{-r/r_0}.$$ Dadurch erhalten wir z $\ell=1$: $$\begin{align} \psi_{1,1,-1} - \psi_{1,1,+1} &\propto 2x e^{-r/r_0} \\ -\psi_{1,1,-1} - \psi_{1,1,+1} &\propto 2iy e^{-r/r_0} \\ \psi_{1,1,0} &\propto z e^{-r/r_0} \end{align}$$ Das motiviert die $p_x,p_y,p_z$Beschreibung oben.

Was Vorzeichen und Phasen angeht: Das sieht man$\cos\theta$ist positiv, wenn$\vec r$ist in der Nähe von$z$-Achse, negativ wenn$\vec r$ist in der Nähe von$-z$-Achse und Null auf der$x$-$y$Ebene; das gibt die Interpretation der "entgegengesetzten farbigen Kleckse", nach der Sie fragen.

Für die$m\neq0$Obertöne, das sieht man$\sin\theta$ist für alle positiv$\theta$(Beachten Sie das am Positiven$z$-Achse ins Negative$z$-Achse ist nur eine halbe Umdrehung, keine volle Umdrehung). Die Differenz zwischen den beiden Zuständen ist das Vorzeichen des Exponenten in$e^{\pm i\phi}$. Jedoch die$m\neq0$Harmonische sind auf der rein imaginär$y$-Achse, wodurch sie etwas schwieriger zu zeichnen sind.

Die Orbitale sind nur kugelsymmetrisch für$S$-Zustände, für die die Drehimpulszahl$l$ist Null. In Ihrem Bild sind die ersten beiden Orbitale also die$s=1$und das$s=2$Zustand, während die anderen drei Bilder dem entsprechen$n=2,l=1$mit den drei verschiedenen Möglichkeiten von$m_l$.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, um zu sehen, dass die Wellenfunktionen mit$l=0$sind schersymmetrisch, eine davon ist, dass man als Wellenfunktion des Wasserstoffatoms schreiben kann

$$\psi_{nlm}=R_{nlm}(r)Y_{lm}(\theta,\phi),$$

Wo$Y$sind die sphärischen Harmonischen, die die Winkelabhängigkeit der Wellenfunktion bestimmen. Dann, wenn Sie die sphärische Harmonische mit nachschlagen$l=0$, sehen Sie, dass es keine Winkelabhängigkeit hat. Die Wellenfunktion ist in diesem Fall kugelsymmetrisch (und 3D, da es sich um die "Kugelkoordinaten" handelt -$r$).

Ich wollte nur hinzufügen, dass es nicht ganz stimmt, dass die gezeichneten Orbitale "die Bereiche sind, in denen ein Elektron gefunden werden kann". Aber meine Antwort wuchs und wuchs...

Nehmen wir ein neutrales Boratom, wo es 1s- und 2s-Schalen und ein Elektron in der 2p-Schale gefüllt hat. Angenommen, es schwebt im Weltraum, weit entfernt von chaotischen Interaktionen mit anderen Dingen. Sie fragen sich also, in welchem ​​2p-Orbital sich das Elektron befindet?

Wenn Sie ein Atom physikalisch in einem gegebenen Zustand präparieren, dann haben Sie physikalisch eine sehr reale Asymmetrie eingeführt. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie bereiten a vor$2p_z$Atom, und Sie finden irgendwie einen Weg, sich vorzustellen, wo Elektronen sind. Nachdem Sie dies an vielen, vielen identisch vorbereiteten Atomen wiederholt und Statistiken erstellt haben, um Ihre experimentelle "Wahrscheinlichkeitswolke" zu erstellen, würden Sie oben und unten Lappen finden (hinzugefügt zu den$1s$Und$2s$sphärische Wolken).

Aber natürlich muss es nicht in einem x-, y- oder z-Zustand vorbereitet werden. Während man mit a prinzipiell ein Boratom herstellen kann$2p_x$Zustand, bzw$2p_y$Zustand, Sie können es auch in einem vorbereiten$\frac{1}{\sqrt{2}}(|2p_x\rangle + |2p_y\rangle)$Überlagerungszustand oder jede andere Überlagerung. Diese Überlagerungen sind auch gültige Orbitale, nicht weniger als die von Ihnen gezeichneten Orbitale. Man kann also auch Boratome so präparieren, dass im hypothetischen Bild von Elektronenwolken die Lappen 45 Grad von der z-Achse orientiert sind. Oder Sie könnten die Atome so präparieren, dass sie keine Lappen, sondern einen dicken Äquator haben:$\frac{1}{\sqrt{2}}(|2p_x\rangle + i \, |2p_y\rangle)$.

Für ein zufällig ausgewähltes Boratom in einem Gas hätten wir natürlich gerne eine mathematische Beschreibung, die die Kugelsymmetrie wieder herstellt. Hier kommt das quantenmechanische Konzept gemischter Zustände und Dichtematrizen ins Spiel. Diese vollständige Beschreibung des Boratoms, einschließlich der Unsicherheit, sagt Ihnen, dass das zufällig ausgewählte Atom bei jeder Messung, die Sie vornehmen, keine bevorzugte Richtung hat. Leider ist diese vollständige Quantenmechanik für den Eingeweihten mathematisch verwirrender, und es scheint, als hätten wir nicht das richtige Englisch erfunden, um gemischte Zustände zu beschreiben; Deshalb sagen wir seltsame Dinge wie "das ungepaarte Borelektron befindet sich zufällig in einem von drei 2p-Orbitalen", was in gewisser Weise ganz richtig ist, aber irreführend sein kann. Es ist auch in jeder anderen Basis von 2p-Orbitalen gleichermaßen gültig zu sagen, dass es sich zufällig in einem der drei Orbitale befindet.

Technischer Hinweis: Wenn Sie weiter graben, finden Sie heraus, dass aufgrund der Spin-Bahn-Kopplung die sechs Spin-Bahn-Zustände von Bor gebrochen entartet sind. Zwei bilden den Grundzustand und die anderen vier haben eine leicht erhöhte Energie ( siehe NIST-Datenbank ). Aber bedeutet dies, dass sich das zufällige Boratom in einem gemischten Zustand der beiden Orbitale im Grundzustand befindet? Nö! Die Energieaufspaltung beträgt nur 1,9 meV; daher hätten für die meisten experimentellen Temperaturen alle sechs Spin-Orbital-Zustände die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Kommentare zur Frage (v2):

Die Tatsache, dass die TISE unter einer Symmetriegruppe invariant ist$G$(in diesem Fall die Lie-Gruppe$G=SO(3)$von 3D-Rotationen) impliziert nicht , dass die Orbital-/Wellenfunktionslösungen$\psi$muss sein$G$-invariant auch.

(Denken Sie zB an spontane Symmetriebrechung, bei der die maßgeblichen Gesetze eines physikalischen Systems unter einer Symmetriegruppe unveränderlich sind$G$, aber das System wählt einen Grundzustand, der nicht invariant ist$G$. Siehe auch zB diesen Phys.SE Beitrag.)

Allgemeiner gesagt ist eine gedrehte Wellenfunktionslösung wieder eine Lösung für TISE.

Mit anderen Worten, die Wellenfunktionslösungen$\psi$transformieren in Lie-Gruppendarstellungen von$G$, obwohl (wie oben gesagt) nicht unbedingt in der trivialen/einfachen Darstellung. Siehe auch zB diesen Phys.SE Beitrag.