Gibt es eine 1:1-Entsprechung zwischen Symmetrie und Gruppentheorie?

Der Professor in meiner Klasse für mathematische Physik führt in die Definition von Gruppen ein und sagte, dass die Gruppentheorie die Mathematik der Symmetrie sei.

Er gab auch einige Beispiele für Gruppen wie die Menge aller reellen Zahlen unter Addition.

Meine Frage ist, von welcher Symmetrie sprechen wir hier, wenn wir die Menge aller reellen Zahlen unter Addition betrachten?

Tatsächlich ist die Gruppentheorie die mathematische Sprache der Symmetrie. Hier ist ein Link zu einem netten Artikel mit dem Titel „Symmetrie in der Physik: Wigners Vermächtnis“ jptp.uni-bayreuth.de/vorlesungen/symmetry.pdf Er wurde 1995 von Nobelpreisträger David Gross geschrieben.

Antworten (2)

  1. Einerseits eine Gruppe G ist ein rein mathematisches Konzept.

  2. Andererseits ist ein System gegeben S auf dem eine Gruppe G handelt G × S → S . Das System S stellt dann eine (möglicherweise nichtlinear realisierte) Repräsentation der Gruppe dar G . Das System S kann in bestimmten Fällen unter der Gruppenwirkung unveränderlich sein, und in solchen Fällen sagen wir das System S besitzt ein G - Symmetrie .

  3. In der Physik S ist typisch eine Reihe von Gleichungen oder eine Aktion (nicht zu verwechseln mit dem Begriff einer Gruppenaktion ).

  4. Die abelsche Gruppe G = ( R , + ) das OP erwähnt, ist in vielen physischen Systemen implementiert. Es könnte die Translationssymmetrie eines physikalischen Systems in eine bestimmte Richtung sein, wie Maksim Zholudev in einem Kommentar schreibt. Aber das ist nur eine von vielen Möglichkeiten, und es gibt keine 1:1-Korrespondenz zwischen Gruppen und Symmetrien im streng mathematischen Sinne.

  5. Beachten Sie schließlich, dass der Begriff einer Gruppe G kann auf verschiedene Weise abgeschwächt/generalisiert werden, zB zu einem Gruppoid .

Lassen Sie mich überprüfen, ob ich das richtig verstehe: Also eine Gruppe G wird nicht mit einer Symmetrie identifiziert, es sei denn, die Gruppenelemente lassen einige Systeminvarianten, richtig? Wer ist OP?. Für den Fall wann G ist die Translationssymmetrie eines physikalischen Systems in einer bestimmten Richtung, was sind die Darstellungen der Gruppenelemente in diesem Fall? und was ist die Größe, die unter der Systemtranslation invariant bleibt? (Immer wenn das Wort Symmetrie erwähnt wird, versuche ich an eine Größe zu denken, die unter der Wirkung der Gruppenelemente unverändert bleibt, wie ein gleichseitiges Dreieck unter Drehung um N × 120 Grad)
Nun, Sie müssen über den Unterschied zwischen tatsächlichen Symmetrien sprechen, wie die Symmetrie eines Kreises bei der Gruppe Z N wirkt durch Drehungen oder die auf ein regelmäßiges n-Eck wirkende Diedergruppe (Spiegelungen, Drehungen), mit Eichtransformationen , die von Gleichungen und deren Lösungen sprechen (Paradebeispiel Elektrodynamik). Und "OP" bedeutet Originalposter.

Es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Symmetrie und Gruppentheorie aus dem einfachen Grund, dass wenn A eine Symmetrie und B eine Symmetrie ist, dann auch B gefolgt von A ist. Dies impliziert, dass Symmetrien eine Gruppe bilden, wobei das Gruppengesetz die Zusammensetzung ist von Karten (eine Symmetrie ist eine Karte).

Die Verschiebung entlang der reellen Achse ist die physikalische Symmetrie der Zeitverschiebung. Wie Wiener betonte, ist es eine wichtige Tatsache, dass wenn wir ein Experiment zur Zeit beginnen T = 0 und gemessen die ergebnisse zu zeit T = 4 , werden die Antworten physikalisch die gleichen sein, als ob wir das Experiment zu einem bestimmten Zeitpunkt begonnen hätten T = 21 und gemessen die ergebnisse zu zeit T = 25 .

Aus diesem Grund ist die Fourier-Analyse nützlich ... wann immer Sie eine Symmetriegruppe haben, sind die Darstellungen dieser Gruppe nützlich. Die Darstellungen der Übersetzungsgruppe sind die Exponentialfunktionen, daher ist die Fourier-Analyse, die Zerlegung einer beliebigen Funktion in Kombinationen verschiedener Exponentialfunktionen, nützlich.

Gibt es eine 1:1-Entsprechung zwischen Symmetrie und Gruppentheorie?
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