Gibt es etwas Ähnliches wie Noethers Theorem für diskrete Symmetrien?

Für kontinuierliche globale Symmetrien gibt Ihnen das Noether-Theorem eine lokal konservierte Ladungsdichte (und einen zugehörigen Strom), deren Integral über den gesamten Raum erhalten bleibt (dh zeitunabhängig).

Bei globalen diskreten Symmetrien muss zwischen den Fällen unterschieden werden, in denen die Erhaltungsladung stetig oder diskret ist. Für unendliche Symmetrien wie Gittertranslationen ist die Erhaltungsgröße kontinuierlich, wenn auch periodisch. In einem solchen Fall wird der Impuls also in Modulo-Vektoren im reziproken Gitter konserviert. Die Erhaltung ist ebenso lokal wie bei kontinuierlichen Symmetrien.

Bei einer endlichen Gruppe von Symmetrien ist die Erhaltungsgröße selbst diskret. Sie haben dann keine lokalen Erhaltungsgesetze, da die Erhaltungsgröße räumlich nicht kontinuierlich variieren kann. Trotzdem haben Sie für solche Symmetrien immer noch eine erhaltene Ladung, die Beschränkungen (Auswahlregeln) für erlaubte Prozesse gibt. Zum Beispiel können Sie für paritätsinvariante Theorien jedem Zustand eines Teilchens eine "Paritätsladung" geben, die einfach ein Zeichen ist, und die Gesamtladung muss für jeden Prozess erhalten bleiben, sonst ist die Amplitude dafür Null.

In einem Satz zusammengefasst, besagt Noethers erster Satz , dass eine kontinuierliche, globale Off-Shell-Symmetrie einer Aktion besteht$S$impliziert ein lokales On-Shell-Erhaltungsgesetz. Mit den Worten auf der Schale und außerhalb der Schale ist gemeint, ob die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen erfüllt sind oder nicht.

Nun stellt sich die Frage, ob kontinuierlich durch diskret ersetzt werden kann.

Es sollte sofort betont werden, dass das Noether-Theorem eine Maschine ist, die für jede Eingabe in Form einer geeigneten Symmetrie eine Ausgabe in Form eines Erhaltungssatzes erzeugt. Um zu behaupten, dass ein Noether-Theorem dahintersteckt, reicht es nicht aus, nur ein paar Paare (Symmetrie, Erhaltungssatz) aufzulisten.

Wo könnte nun eine diskrete Version von Noethers Theorem leben? Eine gute Wette ist in einer diskreten Gitterwelt, wenn man anstelle von Differentiation endliche Differenzen verwendet. Lassen Sie uns die Situation untersuchen.

Unsere intuitive Idee ist, dass endliche Symmetrien, z. B. Zeitumkehrsymmetrie usw., nicht in einem Noether-Theorem in einer Gitterwelt verwendet werden können, weil sie in einer kontinuierlichen Welt nicht funktionieren. Stattdessen setzen wir unsere Hoffnung darauf, dass diskrete unendliche Symmetrien verwendet werden können, die zu kontinuierlichen Symmetrien werden, wenn die Gitterabstände gegen Null gehen.

Stellen Sie sich der Einfachheit halber ein 1D-Punktpartikel vor, das nur an diskreten Positionen sein kann$q_t\in\mathbb{Z}a$auf einem 1D-Gitter$\mathbb{Z}a$mit Gitterabstand$a$, und damals$t\in\mathbb{Z}$ist auch diskret. (Dies wurde zB untersucht in JC Baez und JM Gilliam, Lett. Math. Phys. 31 (1994) 205; Huttipp: Edward.) Die Geschwindigkeit ist die endliche Differenz

und ist auch diskret. Die Aktion$S$ist

mit Lagrange$L_t$auf dem Formular

Schwung definieren$p_{t+\frac{1}{2}}$wie

Naiv, die Aktion$S$sollte extremisiert werden bzgl. benachbarte virtuelle diskrete Pfade$q:\mathbb{Z} \to\mathbb{Z}a$um die Bewegungsgleichung zu finden. Es scheint jedoch nicht machbar, eine diskrete Euler-Lagrange-Gleichung auf diese Weise zu extrahieren, im Grunde, weil es nicht ausreicht, Taylor in der Variation auf die erste Ordnung zu entwickeln$\Delta q$wenn die Variation$\Delta q\in\mathbb{Z}a$ist nicht unendlich klein. An diesem Punkt werfen wir unsere Hände in die Luft und erklären den virtuellen Pfad$q+\Delta q$(im Gegensatz zum stationären Pfad$q$) nicht im Verband liegen muss, sondern kontinuierlich Werte aufnehmen kann$\mathbb{R}$. Wir können jetzt eine infinitesimale Variation durchführen, ohne uns Gedanken über Beiträge höherer Ordnung zu machen,

Beachten Sie, dass die letzte Summe teleskopisch ist. Daraus folgt (bei geeigneten Randbedingungen) die diskrete Euler-Lagrange-Gleichung

Das ist die Evolutionsgleichung. An dieser Stelle ist nicht klar, ob eine Lösung für$q:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$wird auf dem Gitter bleiben$\mathbb{Z}a$wenn wir zwei Anfangswerte auf dem Gitter angeben. Der Konsistenz halber beschränken wir uns im Folgenden auf solche Systeme.

Als Beispiel mag man sich das vorstellen$q_t$ist eine zyklische Variable, dh das$L_t$hängt nicht davon ab$q_t$. Wir haben also eine diskrete globale Translationssymmetrie$\Delta q_t=a$. Der Noetherstrom ist der Impuls$p_{t+\frac{1}{2}}$, und das Noether-Erhaltungsgesetz ist dieser Impuls$p_{t+\frac{1}{2}}$wird konserviert. Das ist sicherlich eine schöne Beobachtung. Dies bedeutet aber nicht zwangsläufig, dass ein Noether-Theorem dahintersteckt.

Stellen Sie sich vor, der Feind hat uns eine globale vertikale Symmetrie gegeben$\Delta q_t = Y(q_t)\in\mathbb{Z}a$, wo$Y$ist eine beliebige Funktion. (Die Wörter vertikal und horizontal beziehen sich auf die Übersetzung in der$q$Richtung und die$t$Richtung bzw. Wir werden Symmetrien mit horizontalen Komponenten der Einfachheit halber nicht diskutieren.) Der offensichtliche Kandidat für den bloßen Noetherstrom ist

Aber es ist unwahrscheinlich, dass wir das beweisen könnten$j_t$wird lediglich aus der Symmetrie erhalten$0=S[q+\Delta q] - S[q]$, was nun unvermeidlich Beiträge höherer Ordnung beinhalten würde. Obwohl wir damit aufhören, ein No-Go-Theorem zu erklären, sieht es sicherlich nicht vielversprechend aus.

Vielleicht wären wir erfolgreicher, wenn wir nur die Zeit diskretisieren und den Koordinatenraum kontinuierlich lassen würden? Ich könnte in Zukunft mit einem Update dazu zurückkommen.

Ein Beispiel aus der kontinuierlichen Welt, das man sich gut merken sollte: Betrachten Sie ein einfaches Schwerkraftpendel mit Lagrangefunktion

Es hat eine globale diskrete periodische Symmetrie$\varphi\to\varphi+2\pi$, sondern der (Winkel-)Impuls$p_{\varphi}:=\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}= m\ell^2\dot{\varphi}$ist nicht erhalten, wenn$g\neq 0$.

Sie erwähnten Kristallsymmetrien. Kristalle haben eine diskrete Translationsinvarianz: Sie ist nicht invariant unter einer infinitesimalen Translation, aber invariant unter einer Translation durch einen Gittervektor. Daraus ergibt sich Impulserhaltung bis auf einen reziproken Gittervektor .

Es gibt ein zusätzliches Ergebnis: Angenommen, der Hamiltonoperator selbst ist zeitunabhängig, und angenommen, die Symmetrie hängt mit einem Operator zusammen$\hat S$. Ein Beispiel wäre der Paritätsoperator$\hat P|x\rangle = |-x\rangle$. Wenn dieser Operator eine Symmetrie ist, dann$[H,P] = 0$. Aber da der Kommutator eines Operators mit dem Hamilton-Operator Ihnen auch die Ableitung gibt, haben Sie$\dot P = 0$.

Tatsächlich gibt es Analogien oder Verallgemeinerungen von Ergebnissen, die sich unter gewöhnlichen Fällen auf Noethers Theoreme reduzieren lassen und die für diskrete (und nicht unbedingt diskretisierte ) Symmetrien (einschließlich CPT-ähnlicher Symmetrien ) gelten.

Siehe zum Beispiel: Anthony CL Ashton (2008) Conservation Laws and Non-Lie Symmetries for Linear PDEs, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 15:3, 316-332, DOI: 10.2991/jnmp.2008.15.3.5

Zusammenfassung Wir stellen eine Methode zur Konstruktion von Erhaltungssätzen für eine große Klasse von linearen partiellen Differentialgleichungen vor. Im Gegensatz zum klassischen Ergebnis von Noether werden die erhaltenen Ströme durch jede Symmetrie des Operators erzeugt, einschließlich derjenigen des Nicht-Lie-Typs. Ein explizites Beispiel ist die Dirac-Gleichung, wo wir unsere Konstruktion verwenden, um eine Klasse von Erhaltungsgesetzen zu finden, die mit einer 64-dimensionalen Lie-Algebra diskreter Symmetrien verbunden sind, die CPT enthält.

Der eingeschlagene Weg ist eine sukzessive Lockerung der Bedingungen des Satzes von Noether auf kontinuierliche (Lie-)Symmetrien, die das Ergebnis in anderen Fällen verallgemeinern.

Zum Beispiel (von oben), Hervorhebung, Ergänzungen von mir:

Die Verbindung zwischen Symmetrie und Erhaltungssätzen ist der gesamten mathematischen Physik innewohnend, seit Emmy Noether 1918 ihre äußerst einflussreiche Arbeit veröffentlichte, die die beiden verbindet. ..[M]yy hat Ansätze zur Untersuchung von Naturschutzgesetzen auf verschiedene Weise vorgeschlagen. In jedem Fall ist ein Erhaltungssatz wie folgt definiert.

Definition 1. Let$\Delta[u] = 0$ein Gleichungssystem sein, das von den unabhängigen Variablen abhängt$x = (x_1, \dots , x_n)$, die abhängigen Variablen$u = (u_1, \dots , u_m)$und Derivate davon. Dann ein Erhaltungsgesetz für$\Delta$wird von einigen definiert$P = P[u]$so dass:

$${\operatorname{Div} P \; \Big|}_{\Delta=0} = 0 \tag{1.1}$$

wo$[u]$bezeichnet die Koordinaten auf der$N$-ten Strahl von$u$, mit$N$willkürlich.

Der [ursprüngliche] Satz von Noether ist in dem [besonderen] Fall anwendbar, wo$\Delta[u] = 0$entsteht als Euler-Lagrange-Gleichung ein zugehöriges Variationsproblem. Es ist bekannt, dass eine PDE genau dann eine Variationsformulierung hat, wenn sie eine selbstadjungierte Frechet-Ableitung hat . Das heißt: wenn das Gleichungssystem$\Delta[u] = 0$ist so das$D_{\Delta} = {D_{\Delta}}^*$dann gilt folgendes Ergebnis.

Satz (Noether). Für ein nicht entartetes Variationsproblem mit$L[u] = \int_{\Omega} \mathfrak{L} dx$, die Entsprechung zwischen nichttrivialen Äquivalenzklassen von Variationssymmetrien von$L[u]$und nichttriviale Äquivalenzklassen von Erhaltungssätzen ist eins-zu-eins.

[..] Da [der allgemeine Satz von Symmetrien] viel größer ist als die in der klassischen Arbeit von Noether betrachteten, gibt es möglicherweise eine noch stärkere Übereinstimmung zwischen Symmetrie und Erhaltungssätzen für PDEs[..]

Definition 2. Wir sagen den Operator$\Gamma$eine Symmetrie der linearen PDE ist$\Delta[u] \equiv L[u] = 0$wenn es einen Operator gibt$\alpha_{\Gamma}$so dass:

$$[L, \Gamma] = \alpha_{\Gamma} L$$ wo $[\cdot, \cdot]$bezeichnet den Kommutator durch Zusammensetzung von Operatoren so $L \Gamma = L \circ \Gamma$. Die Menge aller solcher Symmetrien bezeichnen wir mit $sym(\Delta)$.

Folgerung 1. Wenn$L$selbstadjungiert oder schiefadjungiert ist, dann jede$\Gamma \in sym(L)$erzeugt ein Erhaltungsgesetz.

Speziell für die Dirac-Gleichung und CPT- Symmetrie wird das folgende Erhaltungsgesetz hergeleitet ( ebd. ):

Ernüchternde Gedanken:

Erhaltungssätze beziehen sich nicht auf Symmetrie , um die Wahrheit zu sagen. Für ein mechanisches System mit N Freiheitsgraden gibt es immer N Erhaltungsgrößen. Sie sind komplizierte Kombinationen der dynamischen Variablen. Ihre Existenz ist mit der Existenz der Problemlösungen versehen.

Bei Symmetrie sehen die Erhaltungsgrößen einfach einfacher aus.

BEARBEITEN: Ich weiß nicht, wie sie es Ihnen beibringen, aber die Erhaltungsgesetze haben nichts mit dem Noether-Theorem zu tun. Letzteres zeigt nur, wie man einige Erhaltungsgrößen aus dem Lagrange-Problem und den Problemlösungen konstruiert. Jede Kombination von Erhaltungsgrößen ist ebenfalls eine Erhaltungsgröße. Was Noether gibt, ist also keineswegs einzigartig.

Nein, denn diskrete Symmetrien haben keine infinitesimale Form, die den (Eigenschafts-)Erhaltungssatz hervorrufen würde. Siehe auch diesen Artikel für eine ausführlichere Diskussion.

Wie bereits gesagt, hängt dies davon ab, welche Art von "diskreter" Symmetrie Sie haben: Wenn Sie eine echte diskrete Symmetrie haben, wie z$\mathbb{Z}_n$, dann ist die Antwort im Kontext von Nöthers Theorem(s) negativ – auch wenn es Schlussfolgerungen gibt, die man ziehen kann, wie Moshe R. erklärte.

Wenn Sie jedoch von einer diskretisierten Symmetrie sprechen, dh einer kontinuierlichen Symmetrie (global oder lokal), die irgendwie diskretisiert wurde, dann haben Sie ein Analogon zu Nöthers Satz(en) à la Regge-Kalkül. Ein guter Vortrag, der einige dieser Konzepte vorstellt, ist Discrete Differential Forms, Gauge Theory, and Regge Calculus (PDF) : Unter dem Strich müssen Sie ein Finite-Differenzen-Schema finden, das Ihre Differential- (und/oder Eich-) Struktur bewahrt.

Es gibt eine große Literatur über Finite-Differenzen-Schemata für Differentialgleichungen (gewöhnliche und partielle).

Vielleicht,

http://www.technologyreview.com/blog/arxiv/26580/

Ich bin keineswegs ein Experte, aber ich habe dies vor ein paar Wochen gelesen. In dieser Arbeit betrachten sie ein 2D-Gitter und konstruieren ein Energieanalog. Sie zeigen, dass es sich so verhält, wie es die Energie sollte, und schlussfolgern dann, dass die Raumzeit unveränderlich sein müsste, damit diese Energie erhalten bleibt.

Sehen:

• John David Logan, „ First Integrals in the Discrete Variational Calculus “, Æquationes Mathematicæ 9, No. 2 (1. Juni 1973): 210–20. DOI: 10.1007/BF01832628 .

  Die Absicht dieser Arbeit ist zu zeigen, dass erste Integrale der diskreten Euler-Gleichung explizit bestimmt werden können, indem die Invarianzeigenschaften der diskreten Lagrange-Funktion untersucht werden. Das erhaltene Ergebnis ist ein diskretes Analogon des klassischen Theorems von E. Noether in der Variationsrechnung.

Wenn wir eine diskrete Symmetrie wie z$\mathbb{Z}/N$durch Einbettung zu einer kontinuierlichen Symmetrie$U(1)$, dann können wir zunächst den Satz von Noether für die stetige Symmetrie ableiten$U(1)$. Als nächstes können wir die diskretisierte konservierte Version von Noether current finden, die mit values ​​mod konserviert werden sollte$N$.

Es wird interessant sein zu wissen, ob dieser Gedanke auf die diskrete nicht-abelsche Symmetrie durch Einbettung in eine nicht-abelsche kontinuierliche Symmetriegruppe zutrifft, und das gleiche Verfahren noch einmal durchzuführen.

Die Erhaltung der elektrischen Ladung ist eine "diskrete" Symmetrie. Quarks und Antiquarks haben diskrete gebrochene elektrische Ladungen (±1/3, ±2/3) Elektronen, Positronen und Protonen haben ganzzahlige Ladungen.