Ich hatte ein Problem, bei dem ich ein kugelsymmetrisches Potential habe (die genaue Form ist für diese Frage nicht relevant, denke ich - aber es ist trotzdem 0 für Und überall sonst) und ich wurde gebeten, die Grundzustandsenergie zu finden. Hinweis: Ich bin tatsächlich in der Lage, das Problem zu lösen, aber ich habe zuerst angenommen . Jetzt, wo ich darüber nachdenke, habe ich nur blind angenommen und hätte gerne eine Begründung dafür.
Stimmt es immer, dass der Grundzustand jeder kugelsymmetrischen Potentialfunktion einen Bahndrehimpuls von Null hat? [Der Fall des Wasserstoffatoms scheint aus der Algebra herauszufallen, und eine physikalische Erklärung, die im Allgemeinen funktioniert, wäre viel schöner]
Hier ist ein Papier mit einem Beweis, dass der Grundzustand für kugelsymmetrische Potentiale für ein einzelnes Teilchen l = 0 sein muss, vorausgesetzt, es gibt einen gebundenen Zustand. Abstrakt:
Das Variationsprinzip wird verwendet, um zu zeigen, dass die Grundzustandswellenfunktion einer Einkörper-Schrödinger-Gleichung mit einem reellen Potential reell ist, das Vorzeichen nicht ändert und nicht entartet ist. Wenn der Hamilton-Operator unter Rotationen und Paritätstransformationen invariant ist, muss der Grundzustand folglich eine positive Parität und einen Drehimpuls von Null haben.
Im Wesentlichen,
Es kann bewiesen werden, dass der Grundzustand überall reell und nicht-negativ sein muss, vorausgesetzt, dass ein gebundener Zustand existiert und ein Nullspin angenommen wird. Das Argument in dem Papier ist abstrakt, aber die Idee ist, dass nach dem Umwandeln der Wellenfunktion in ein Produkt aus Amplituden- und Phasenfaktoren, die mit der Position variieren können, nach dem Berechnen der potentiellen und kinetischen Energieanteile des Erwartungswerts , ist der einzige Teil der Energie, der von der Phase abhängt, ein kinetischer Energieterm, der minimiert wird, indem die Phase konstant gemacht wird. Wenn die Phase konstant ist, kann angenommen werden, dass die Wellenfunktion reell ist und das Vorzeichen nicht wechseln kann.
Damit kann bewiesen werden, dass der Grundzustand eindeutig ist. Wenn dies nicht der Fall wäre, gäbe es grundsätzlich eine zweite Grundzustandswellenfunktion (die auch das Vorzeichen nicht ändern kann), aber sie können nicht orthogonal sein, da Sie das Produkt zweier echter Nicht-Vorzeichenänderungen nicht integrieren können Wellenfunktionen und erhalten Null.
Die sphärische Symmetrie des Hamilton-Operators verlangt, dass wenn es eine gibt Zustand mit einer Energie, es muss auch eine geben Zustand mit der gleichen Energie, also ist die einzige Möglichkeit zu haben .
(Trotzdem zitiert das Papier dieses Papier und sagt, dass, wenn wir eine Ansammlung von zwei Teilchen mit starker Spin-Bahn-Kopplung zwischen ihnen haben, der gesamte Hamilton-Operator eine sphärische Symmetrie haben kann, aber das System wird eine spontane Symmetriebrechung haben und am Ende mit .)
Berücksichtigen Sie den (zumindest störenden) Beitrag des zusätzlichen effektiven "Potentials" in der Radialgleichung, wenn , analysieren Sie sein Vorzeichen und urteilen Sie entsprechend.
Die physikalische Erklärung ist einfach – es ist eine zusätzliche kinetische Energie einer Rotationsbewegung.
Benutzer4552