Warum hält sich die klassische Mechanik nicht an das Konzept identischer Teilchen?

Die klassische Physik kennt das Konzept identischer Teilchen. Was es nicht hat, ist das Konzept der ununterscheidbaren Teilchen.

Formal gesehen ist der Unterschied folgender: Der Mensch kann identische Teilchen nicht auseinanderhalten. Wenn es um ununterscheidbare Teilchen geht, kann Gott sie nicht auseinanderhalten.

Angenommen, Sie haben ein Proton (Nr.$1$), und ich habe Proton (Nr.$2$). Wir bringen sie zusammen und fügen ein Elektron hinzu, um es zu erzeugen$^1H_2^+$. Dann brechen wir es und jeder nimmt seine Protonen mit nach Hause.

Klassischerweise gibt es zwei Ergebnisse: Wir haben unsere ursprünglichen Protonen oder wir haben sie ausgetauscht. Das weiß nur Gott.

Quantenmechanisch sind sie verschränkt. Ich habe$|p_1p_2\rangle$, und du hast$e^{i\phi}|p_2p_1\rangle$. Die Natur kann sie nicht unterscheiden.

Es ist schlimmer, wenn Sie ein Proton haben und ich ein Neutron. Wir machen Deuterium; treffen Sie es mit einem 2,2-MeV-Gammastrahl und nehmen Sie unsere Teilchen mit nach Hause. Sicherlich ist Ihr Proton dasjenige, mit dem Sie gekommen sind, ebenso wie mein Neutron.

Nun, nein. Die Isospin-Wellenfunktion von$D$Ist:

Wenn Sie also Partikel 1 greifen, ist es 1/2 p und 1/2 n, während meins 1/2 n halb p ist. (Theoretisch weiß keiner von uns, bis einer von uns hinschaut ... und dann haben wir eine Kombination aus Schrödingers Katze und dem EPR-Paradoxon ... gehen wir nicht dorthin).

Im Ernst, das Proton, mit dem Sie weggehen, ist nicht das Proton, mit dem Sie hereingekommen sind, da Pionen Isovektoren sind, und:

Solange die Partikel verwickelt werden können, müssen Sie sich um ihre Ununterscheidbarkeit sorgen. Wenn wir stattdessen Elektronen zusammenbringen, führen Sie mit einem Strahlelektron und mit einem stationären Zielelektron ein Møller-Streuexperiment durch:

Sicherlich gehört das gestreute Elektron zum Strahl? Ach nein schon wieder:

Die Kreuzungssymmetrie stellt sicher, dass die Ziel- und Strahlelektronen verschränkt sind, selbst wenn sie weit, weit voneinander entfernt sind. Zu weit weg, um jemals wieder in körperlichen Kontakt/oder Austausch zu kommen (oder für längere Zeit nicht).

Eine Frage ist: In welcher Größenordnung bricht das zusammen? Ich glaube, Youngs Doppelspaltexperiment wurde mit durchgeführt$C_{60}$Buckey-Bälle ... einige würden sie bei 0,7 nm als makroskopische Objekte betrachten.

Ihre Frage 2. wirft ein tiefgreifendes Problem auf.

Die Atome in einem Kristall können anhand ihrer Position identifiziert werden, daher werden sie normalerweise als unterscheidbar gezählt, wenn statistische Mechanik durchgeführt wird, z. B. die Berechnung des Schwingungsbeitrags zur spezifischen Wärme des Kristalls.

Dem Quantentunneln und dem Platztausch steht jedoch prinzipiell nichts im Wege. Es wurde spekuliert, dass dies zu einem "Supersolid" führt, aber einige experimentelle Beweise haben sich als illusorisch erwiesen, so dass es immer noch spekulativ ist.

Zwei oder mehr Teilchen können in der klassischen Mechanik immer noch identisch sein. Zum Beispiel können wir uns den Hamilton-Operator ansehen, wie Sie vorschlagen. Aber das Konzept wird in der klassischen Mechanik nicht diskutiert, weil es keine Motivation für ununterscheidbare Zustände gibt.

Das Konzept identischer Teilchen taucht in Quantentheorien wegen des wichtigeren Konzepts der Ununterscheidbarkeit von Zuständen auf; Es stellt sich heraus, dass die Quantentheorie viel besser funktioniert, wenn Konfigurationen, die Ergebnisse einer identischen Teilchenindex-Permutation sind, als dieselbe Konfiguration ausgesprochen werden und somit die Psi-Funktionen auf diejenigen beschränkt sind, die dieser Permutationssymmetrie gehorchen. Zum Beispiel sind Elektronen in einem einzelnen Heliumatom identisch, und die zulässigen Psi-Funktionen sind so, dass die beiden Elektronen bei der Untersuchung einer solchen Psi-Funktion nicht zu unterscheiden sind.

1. Erfordert das Konzept der identischen Konzepte, dass die Permutation zwischen zwei Teilchen physikalisch durchführbar sein sollte? Zum Beispiel könnte ich mir vorstellen, dass zwei Elektronen gleichzeitig in die Position des anderen übergehen, aber das wäre für klassische Teilchen nicht machbar.

Nein. Permutation ist ein Austausch von Indizes auf einige theoretische Größen, wie Koordinaten und Impulse, kein realer Prozess.

2. Handelt es sich bei zwei Ionen im Gitter eines festen Kristalls um identische Teilchen?

Es hängt vom Modell ab. Wenn das Modell sagt, dass die Ionen identische Teilchen sind, dann sind sie identische Teilchen. Dies ist nicht erforderlich; Beispielsweise kann ein Ion Silizium sein, das andere Phosphor, und dann sind sie nicht identisch. Oder ein Ion kann Siliziumisotop 1 sein, das andere Siliziumisotop 2. Dann sind sie nicht identisch. Wie dem auch sei, zwei Ionen im Gitter sind niemals ununterscheidbar, weil sie durch ihre unterschiedlichen Positionen im Gitter unterschieden werden können.

3. Wenn ich ein paar Elektronen habe und zwei Elektronen in die Position des anderen übergehen, wie lange dauert der Übergang? Und sind sie in dieser Zeit noch identische Teilchen?

Elektronen haben keine variablen Freiheitsgrade, sie haben alle die gleiche Masse und Ladung und sind somit immer identische Teilchen, egal was mit ihnen passiert.

Ich würde sagen, dass die klassische Mechanik zumindest theoretisch das Konzept von ununterscheidbaren Teilchen hat. Ununterscheidbarkeit ist nur irgendwie trivial.

Betrachten Sie die Lagrange-Formulierung der Quantenmechanik in Bezug auf zwei nicht unterscheidbare Fermionen. In der Lagrange-Mechanik betrachten wir alle möglichen Pfade, gegeben die Anfangs- und Endpositionen der Fermionen, und gewichten sie in unserem Pfad integral mit$\exp(i S/\hbar)$, Wo$S$ist die Aktion des Pfades. Um die Fermi-Statistik und die Ununterscheidbarkeit zu berücksichtigen, sollten wir die Pfade subtrahieren, auf denen die Teilchen permutiert sind. Am Ende sagen wir, dass die Teilchen alle möglichen Wege gegangen sind, und wir addieren sie gewichtet mit Phasenfaktoren. Die Tatsache, dass wir einige von ihnen subtrahiert haben, anstatt sie zu addieren, ist nur ein weiterer Teil des Phasenfaktors.

Was ist nun mit nicht unterscheidbaren klassischen Teilchen, die deterministischen Pfaden folgen? Wir könnten die Pfade berechnen, die die klassischen Einwirkungen unter den beiden Permutationen der Randbedingungen minimieren. Wir könnten dann sagen, dass je nachdem, ob die Teilchen ihre Plätze getauscht haben oder nicht, sie dem einen oder anderen dieser Wege gefolgt sein müssen. Aber ohne zusätzliche Informationen, wie etwa die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Anfangsgeschwindigkeiten, könnten wir keinem dieser Szenarien Wahrscheinlichkeiten zuordnen.

Um diesen Begriff der klassischen Mechanik mit Unsicherheit zu erweitern, könnten wir auch klassische Unsicherheit, wie beispielsweise ein Gaußsches weißes Rauschen, einbeziehen. Auf diese Weise könnten wir sagen, dass wir, obwohl die Teilchen genau einem Weg folgten, die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Weges und damit sein Gewicht im Ensemble berechnen könnten. Siehe zum Beispiel Kleinerts umfangreichen Text über Pfadintegrale, der die klassische Unsicherheit ziemlich ausführlich behandelt.