Satz von Bloch, Energie, Freies Elektron

Es ist schwieriger, über den Fall freier Teilchen nachzudenken, da es unnatürlich ist, es auf ein Gitter zu legen und die Kanten der Brillioun-Zone nicht zu spalten. Wenn Sie dies jedoch tun möchten, würde die Dispersion für eine beliebige Wahl des Gitterabstands wie (b) in der folgenden Abbildung aussehen$a$:

fast freies elektronisches Modell http://users-phys.au.dk/philip/pictures/solid_metalquantum/nearfree.gif

Warum ist das so? Es liegt daran, dass Sie etwas im realen Raum periodisch gemacht haben. Wenn Sie das tun, wird auch der reziproke Raum periodisch. (Das ist genau der Grund, warum ein reziprokes Gitter existiert.) Betrachten Sie nun die Energie des unteren Bandes, das in der Abbildung neben (d) gekennzeichnet ist. (Die Lücke hier ist irrelevant, macht aber klarer, was ich als unteres Band bezeichne). Dies ist in der Tat periodisch, genau wie Ihre Gleichung, und Sie können dies für ein bestimmtes Band sehen :

$$\begin{equation} \frac{\hbar^2k^2}{2m}=\frac{\hbar^2(k+G)^2}{2m} \end{equation}$$

Auch für einen bestimmten Wert von$k$Sie können mehr als eine Band haben. Ich glaube, Sie irren sich, wenn Sie glauben, dass es für das Modell der freien Elektronen nur eine Bande gibt. In der Tat, wenn Sie den realen Raum aufteilen$N$verschiedene Abstandseinheiten$a$, Sie erhalten$N$Bands, obwohl die meisten von ihnen unbesetzt sein werden. Das sieht man an der Grenze$a\rightarrow\infty$erhalten wir die übliche Dispersion freier Teilchen.

Die Formel

$$E = \frac{\hbar^{2}}{2m} |k|^{2}$$ gilt in der Nähe von $k = 0$, dies nennt man parabolische Bandnäherung, die – wie der Name schon sagt – nur eine Näherungsformel ist. Was die eigentliche Energieberechnung betrifft, müssen Sie die Eigenwerte des Hamilton-Operators des Periodensystems berechnen, dann versucht das Theorem das zu sagen $$\mathcal{H}_{k} \psi(k) = \mathcal{H}_{k+K} \psi(k+K)$$ woraus sich die Äquivalenz der Energiewerte ergibt.

Bei der zweiten Frage ist es wirklich wichtig zu wissen, dass die tatsächliche Kraft auf ein Teilchen in einem Potential nicht von einem konstanten Wert eines Potentials stammt, sondern von seinem Gradienten. Nochmals, wenn Sie die Eigenwerte des Hamilton-Operators in einem Potential wo berechnen würden$V = 0$Überall würden Sie dasselbe Ergebnis erhalten, als würden Sie dieselbe Gleichung berechnen mit, sagen wir,$V = 42$.