Kronig-Penney-Modell

Ich studiere das Kronig-Penney-Modell , wie es in dem Buch von Kittel: Introduction to Solid State Physics behandelt wird.

In diesem Modell betrachtet man ein Periodenpotential, das in der Region Null ist [ 0 , A ] (als Region I definieren), U 0 in der Region [ A , A + B ] (als Region II definieren) und wieder Null in der Region [ A + B , 2 A + B ] etc. etc., so ist die Periode der Wiederholung A + B .

Man kann die Schrödinger-Gleichung in Bereich I und II separat lösen, was zu komplexen Exponentialen in Bereich I führt. In Bereich II kann man sowohl komplexe als auch reelle Exponentiale haben, je nach Vorzeichen U 0 − ϵ . Kittel nimmt reale Exponentiale ohne ein Wort, aber ich denke, dass man das explizit fordern sollte ϵ < U 0 ? Warum können wir das tun?

Darüber hinaus sind die Lösungen in Region I und II durch Nachfragen miteinander verbunden ψ ICH ( 0 ) = ψ ICH ICH ( 0 ) Und ψ ICH ' ( 0 ) = ψ ICH ICH ' ( 0 ) . Aber dann kommt der entscheidende Schritt: Kittel schreibt, dass der Satz von Bloch (in diesem speziellen Fall) dies besagt

ψ ICH ICH ( A < X < A + B ) = ψ ICH ( − B < X < 0 ) e ich k ( A + B )
und verwendet diese zum Schreiben ψ ICH ICH ( A ) = ψ ICH ( B ) e ich k ( A + B ) und ebenso für die Derivate. Diese beiden Bedingungen ergeben zusammen mit den beiden vorangegangenen zwei Gleichungen, die eine Konsistenzgleichung an geben k , die in bestimmten Regionen keine Lösungen haben wird, was zu Bandlücken usw. führt.

Ich habe einige Probleme, dies zu verstehen. Ich verstehe, dass die Kristallperiodizität ist A + B , aber warum bedeutet das, dass diese Kombination in der komplexen Exponentialfunktion auftritt? Außerdem, warum können wir nicht sagen ψ ICH ICH ( A ) = ψ ICH ICH ( − B ) e ich k ( A + B ) (abgesehen von der Tatsache, dass es uns nicht hilft, das Problem zu lösen)? Ich verstehe nicht wirklich, warum man die beiden unterschiedlichen Wellenfunktionen auf diese spezielle Weise miteinander verknüpfen sollte.

Antworten (1)

(1) Die reale vs. imaginäre Exponentialfrage: Wie Sie sagten, hängt es vom Vorzeichen ab, ob der Exponent des Exponentials reell oder imaginär ist U 0 − ϵ . Also, U 0 wird durch das System, das Sie in Betracht ziehen, aber behoben ϵ ist ein Parameter, den Sie eingeben können. Mit anderen Worten, Sie fragen danach, wie sich das System in Abhängigkeit von verhält ϵ . So können Sie Fragen stellen, wo ϵ größer als, kleiner als oder gleich ist U 0 . Für das Studium der Leitfähigkeit erweist es sich als sinnvoller , gebundene Zustände zu untersuchen, d.h ϵ < U 0 .Das liegt daran, dass Sie sich für das Verhalten von Elektronen interessieren, die an den Festkörper gebunden sind, Sie feuern keine Elektronen aus der Unendlichkeit auf den Festkörper.

(2) Die Matching-Bedingungsfrage: Die zugrunde liegende Anforderung ist, dass die Wellenfunktion stetig und überall differenzierbar ist. Sie ist innerhalb der beiden Bereiche stetig und differenzierbar 0 < X < A Und A < X < A + B , also sind die einzigen Orte, an denen etwas schief gehen kann, (I) at A und (II) bei 0 (was das gleiche ist wie A + B ). Sie können die Bedingungen an diesen Orten mit beliebigen Koordinaten festlegen. Insbesondere können Sie der Wellenfunktion an der Stelle (I) Stetigkeit auferlegen, indem Sie fordern ψ ( A ) = ψ ( − B ) . Wenn Sie dies richtig machen, erhalten Sie dieselbe Antwort wie Kittel, obwohl er dieselbe Bedingung mit etwas anderen Koordinaten formuliert hat ψ < ( A ) = ψ > ( A ) . Es ist eine nützliche Übung zu sehen, dass dies funktioniert. Der Hauptgrund, warum Kittel die Dinge nicht so macht, ist, dass es etwas weniger effizient ist (es erfordert mehr Arbeit, um zur gleichen Antwort zu gelangen).

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