Periodische Deltapotentiale

Ich möchte ein periodisches Potential untersuchen, das aus Delta-Funktionen besteht, die durch L beabstandet sind. Dazu wollte ich die Symmetrie des Systems und die Erhaltungsgesetze oder die auftretende Entartung aufschreiben.

Ich begann mit einem periodischen Potential v ( X ) = v ( X + L ) die sich über alle x erstreckt. Die Wellenfunktion sollte die gleiche Symmetrie wie das Potential haben, also nehme ich einen Übersetzungsoperator T und sage T ( L ) v ( X ) = v ( X ) = v ( X + L ) = v ( X ) T ( L ) Also pendeln V und T(L), [ v , T ( L ) ] = 0 .

Übersetzungsoperatoren T(x) für jedes x kommutieren miteinander, also sollte T(L) mit aufeinanderfolgenden kleinen Übersetzungen kommutieren, die schließlich den Impulsoperator ergeben. So [ T ( L ) , P ] = 0 . So [ T ( L ) , P 2 ] = 0 . Kinetische Energie ist E k , So [ T ( L ) , E k ] = 0 .

Dann gibt es Kommutatoridentitäten [ T ( L ) , H ] = 0 . So T ( L ) ψ N = H ψ N = E N ψ N .

Da die Energieeigenfunktionen auch Eigenfunktionen der Translation sind, kann ich Randbedingungen setzen ψ N ( X ) = ψ N ( X + L ) Und ψ N ' ( X ) = ψ N ' ( X + L ) . Dann werde ich der Einfachheit halber x zwischen 0 und L betrachten und das SE als Standard-Diff-Gleichung 2. Ordnung lösen:

P 2 2 M ψ N ( X ) + δ ( X ) ψ N ( X ) = E N ψ ( X )

Meine Frage ist folgende: Ich glaube nicht, dass ich so eine Antwort bekommen werde ψ = e X P ( − ich A X / L ) u ( X ) , den Satz von Bloch besagt, dass ich erhalten sollte. Warum ist das so? Gilt das Bloch-Theorem nur für zB gebundene Zustände in Festkörpern? Ich denke, das könnte das Problem sein, weil ich hier nicht angegeben habe, ob ich gebundene oder streuende Zustände haben möchte.

Was auch immer Ihr Potenzial ist, es muss auf den Staat einwirken ψ N ( X ) in deiner letzten Gleichung. Haben Sie versucht, dies für ein einzelnes Delta, dann zwei usw. zu tun?
@josephh uh oh, die letzte Gleichung hat einen Fehler. Ich werde es reparieren. Ich habe sowohl Single- als auch Double-Delta gemacht, aber ich glaube nicht, dass das Delta hier meine Verwirrung ist. Es sieht so aus, als würde jedes Potential mit L-Periodizität das gleiche Problem verursachen.
Nun, der Satz von Bloch gilt für jedes periodische Potential. Wenn Sie also die Delta-Funktion vergessen, wie Sie sagen, würde die Lösung so aussehen
Ψ ( X ) = u ( X ) e ich k X
Sie sagen, Sie glauben, diese Antwort nicht zu bekommen, aber warum genau?
Der letzte Ausdruck von ψ sollte auch eine Reihe von Schrittfunktionen haben (die von Deltafunktionen stammen), abhängig von der Anzahl der periodischen Bewegungen, die in einer bestimmten Zeit abgedeckt werden
@josephh meine Antwort sieht willkürlich aus, wenn Sie ein beliebiges V (anstelle von Delta-Funktionen) nehmen. So konnte ich mein Psi durch dividieren e X P ( ich k X ) um diese Form zu bekommen, aber das wird albern sein und ich dachte, das Bloch-Theorem wird tiefer sein.

Antworten (2)

Am Anfang Ihrer Berechnungen steht ein konzeptioneller Fehler. Die Periodizität des Potentials erfordert keine Periodizität der Wellenfunktionen. Eigentlich sagt der Satz von Bloch das nicht. Es sagt, dass die Wirkung eines Übergangs durch L ist, die gleiche Wellenfunktion innerhalb eines Phasenfaktors zu belassen e ich k L . Es ist eine mathematische Konsequenz des Theorems, aber es ist auch verständlich auf der Grundlage, dass wir eine Periodizität der beobachtbaren Dichtewahrscheinlichkeit erwarten | ψ | 2 , nicht nur ψ .

Daher sollten Ihre Randbedingungen solche allgemeineren Randbedingungen berücksichtigen. Das ist dasselbe wie zu sagen, dass die Translationseigenvektoren dies nicht sind 1 Aber e ich k L . Die möglichen Werte von k kann leicht erhalten werden, indem eine globale Periodizität der Wellenfunktionen über den gesamten periodischen Randbedingungskristall gefordert wird , d.h e ich k N L = 1 . Alles andere ist unabhängig von der Wahl einer Summe von Deltafunktionen statt stetiger Potentiale.

  1. Du hast folgende Gleichung angegeben:

    T ( L ) ψ N = H ψ N = E N ψ N .
    Das ist nicht richtig. Der Übersetzungsoperator und der Hamiltonoperator teilen sich eine Eigenbasis. Aber der Eigenwert entspricht T ( L ) ist nicht E N .

  2. Der Übersetzungsoperator ist unitär. Das bedeutet, dass

    ( T ( L ) ) † = ( T ( L ) ) − 1 .
    Dies lässt sich leicht beweisen, indem man die folgende Form von betrachtet T ( L ) :
    T ( L ) = e ich L P ^ / ℏ .
    Daher haben wir eine bemerkenswerte Einschränkung für ihre Eigenwerte: Sie erfüllen | λ | 2 = 1 für T | ψ ⟩ = λ | ψ ⟩ . Nachweisen:
    ⟨ ψ | T † T | ψ ⟩ = ⟨ ψ | ( T † T ) | ψ ⟩ = ⟨ ψ | ψ ⟩ oder = ( ⟨ ψ | T † ) ( T | ψ ⟩ ) = | λ | 2 | ψ ⟩ ⇒ | λ | 2 = 1
    Damit definieren wir die Aktion des Übersetzungsoperators T ( L ) folgendermaßen:
    T ( L ) ψ = e ich a ψ .
    Die Wirkung dieses Übersetzungsoperators auf eine Wellenfunktion der durch den Satz von Bloch vorgeschriebenen Form ist eine korrekte Übersetzung der Wellenfunktion durch L . Genauer gesagt mit einer Wellenfunktion
    ψ = e ich a X / L u ( X ) ; u ( X ) = u ( X + L ) ,
    wir haben
    T ( L ) ψ = e ich a ( X + L ) / L u ( X + L ) .

  3. Offensichtlich sind auch die folgenden Gleichungen in der Frage falsch:

    ψ ( X ) = ψ ( X + L ) ; ψ ' ( X ) = ψ ' ( X + L ) .
    Es sollte ein zusätzlicher Phasenfaktor vorhanden sein.

  4. Der Satz von Bloch gilt nicht "ausschließlich für gebundene Zustände". Die Lösungen, die es vorhersagt, sind nicht normalisierbar und werden als Grundlage für Wellenpakete verwendet.

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