Satz von Bloch

Ich studiere den Satz von Bloch , der wie folgt formuliert werden kann:

Die Eigenfunktionen der Wellengleichung für ein Periodenpotential sind das Produkt einer ebenen Welle e ich k ⋅ R mal eine Modulationsfunktion u k ( R ) , die die Periodizität des Gitters hat. In Summe: ψ k ( R ) = u k ( R ) e ich k ⋅ R . [Referenz: Kittel - Einführung in die Festkörperphysik.]

Ich habe einige Probleme, den Satz von Bloch vollständig zu verstehen. Kann ich den Wellenvektor anzeigen? k als eigentlicher, physikalischer Impuls des Elektrons, der sich in einem periodischen Potential bewegt, also die Wellenlänge über definiert λ = 2 π / k ? Und wie hängt dies mit der Tatsache zusammen, dass alle Wellenvektoren in die erste Brouillon-Zone zurückübersetzt werden können?

Gute Frage: Die kurze Antwort lautet: k ist NICHT der Impuls des Elektrons. In Gegenwart eines Gitters bleibt der Impuls nicht erhalten. Mehr Informationen dazu finden Sie, wenn Sie nach dem Begriff Pseudoimpuls suchen. Eine gute Übung ist auch zu überlegen, wie man ein freies Elektron mit dem Bloch-Impuls beschreibt (da der Satz von Bloch sicher auch für den freien Raum gilt). v = 0 ).
OP sollte eine Antwort akzeptieren oder angeben, warum die vorhandenen nicht akzeptabel sind.

Antworten (2)

Hier ist eine einfache Antwort:

Berechnen wir einfach den Impuls eines Teilchens mit einer Bloch-Wellenfunktion

⟨ X | P ^ | Ψ ⟩ = − ich ℏ ( D D X ) u k ( X ) e ich k X = − ich ℏ ( ich k u k ( X ) e ich k X + u k ' ( X ) e ich k X ) = ( P u k ( X ) − ich ℏ u k ' ( X ) ) e ich k X

wobei wir in der letzten Zeile definiert haben P ≡ ℏ k . Dies zeigt ziemlich deutlich, dass die Bloch-Wellenfunktion keine Eigenfunktion des Impulsoperators ist. Sie können die Wellenfunktion also immer in ebene Wellen zerlegen e ich k X , und jede Komponente ist ein Impuls-Eigenzustand mit Impuls P = ℏ k , sind die Bloch-Funktionen selbst keine Impuls-Eigenzustände. Deshalb, k In u k ( X ) e ich k X ist nicht die Dynamik des Bloch-Zustands. Beachten Sie jedoch, dass wenn u k ( X ) = Konstante so dass u k ' ( X ) = 0 , dann bekommen wir

⟨ X | P ^ | Ψ ⟩ = P u k ( X ) e ich k X = P ⟨ X   | Ψ ⟩ = ⟨ X |   P | Ψ ⟩
oder mit anderen Worten

P ^ | Ψ ⟩ = P | Ψ ⟩ .

Bitte stellen Sie eine separate Frage für die Sache mit der Brillouin-Zone. Ich würde das gerne beantworten, aber es gehört in eine separate Frage.

Ich habe also folgende Frage: Enthält das k den Effekt des periodischen Gitters oder nicht? Wenn nicht, wie verwenden wir es in der semiklassischen Theorie des Bloch-Elektronentransports und ignorieren den Gittereffekt bei der Beschreibung der Bloch-Elektronen? (N. Ashcroft – Kapitel 12) – und wenn nicht, warum nennen wir es Kristallimpuls?
@PAM Ich bin mir nicht sicher, was du mit "den Effekt eindämmen" meinst.

Sie können den Kristallimpuls nicht mischen k → mit dem eigentlichen Elektronenimpuls, denn im Kristall ist die eigentliche Translationssymmetrie gebrochen. Das heißt, verschieben Sie eine sehr kleine Strecke, das System wird geändert, daher ist der tatsächliche Impuls keine gute Quantenzahl.

Sie können das überprüfen ψ N k = ψ N k + K Und E N k = E N k + K , so dass ψ N k Und ψ N k + K eigentlich denselben Quantenzustand beschreiben, daher kann man Kristallimpuls immer außerhalb von 1BZ hinein übersetzen.

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