Ergebnis für eine orthogonale und eine nicht-orthogonale Zerlegung

Wir werden den folgenden Satz beweisen:

Lassen$\rho=\sum_{i=1}^Np_i\lvert\phi_i\rangle\langle\phi_i\rvert$sei eine Eigenwertzerlegung und$\sigma=\sum_{i=1}^Mq_i\lvert\psi_i\rangle\langle\psi_i\rvert$($M\ge N$). Dann,$\rho=\sigma$dann und nur dann, wenn

$$\begin{equation} \sqrt{q_j}\lvert\psi_j\rangle=\sum_i v_{ij}\sqrt{p_i}\lvert\phi_i\rangle\ , \end{equation}$$ mit $\sum_j v_{ij}v_{i'j}^*=\sum_k \delta_{ii'}$, dh, $V\equiv(v_{ij})$ist eine Isometrie.

Beweis :

Die "Wenn"-Richtung ist einfach:

$$\begin{align} \rho&=\sum_{j}q_j\lvert\psi_j\rangle\langle\psi_j\rvert\\ &=\sum_{i,i',j} v_{ij} v_{i'j}^* \sqrt{p_i}\sqrt{p_{i'}} \lvert\phi_i\rangle \langle\phi_{i'}\rvert \\ &=\sum_i p_i\lvert\phi_i\rangle \langle\phi_{i}\rvert = \sigma\ , \end{align}$$ wobei wir das im letzten Schritt verwendet haben $\sum_j v_{ij}v_{i'j}^*=\delta_{ii'}$.

Um die Umkehrung zu beweisen, lassen Sie

$$v_{ij} := \langle\phi_i\lvert\psi_j\rangle\,\sqrt{q_j/p_i}\ .$$ Dann, $$\sum_i v_{ij} \sqrt{p_i}\lvert\phi_i\rangle = \sum_i \lvert\phi_i\rangle\langle \phi_i\lvert\psi_j\rangle\sqrt{q_j} = \sqrt{q_j}\lvert\psi_j\rangle\ ,$$ dh, $v_{ij}$ist die gewünschte Basistransformation. Weiter, $$\sum_{ii'}\underbrace{\delta_{ii'}\sqrt{p_ip_{i'}}}_{=:a_{ii'}}\lvert\phi_i\rangle\langle\phi_i\rvert = \sum_ip_i\lvert\phi_i\rangle\langle\phi_i\rvert = \sum_jq_j\lvert\psi_j\rangle\langle\psi_j\rvert = \sum_{ii'}\underbrace{\sum_jv_{ij}v^*_{i'j}\sqrt{p_ip_i'}}_{=:b_{ii'}}\lvert\phi_i\rangle\langle\phi_{i'}\rvert\ .$$ Nun, seit dem $\lvert\phi_i\rangle$orthogonal sind (da sie eine Eigenbasis bilden), die $\lvert\phi_i\rangle\langle\phi_{i'}\rvert$linear unabhängig sind und somit $a_{ii'}=b_{ii'}$, was impliziert $\sum_jv_{ij}v^*_{i'j}=\delta_{ii'}$.

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Erweiterung auf zwei nicht-orthogonale Zerlegungen

Wenn die$\lvert\phi_i\rangle$keine Orthonormalbasis bilden, können wir den Satz verallgemeinern, indem wir eine Orthonormalbasis durchlaufen$\rho=\sum r_k\lvert\chi_k\rangle\langle\chi_k\rvert$: Dann,

$$\begin{align} \sqrt{p_i}\lvert\phi_i\rangle&=\sum_k u_{ki}\sqrt{r_k}\lvert\chi_k\rangle\\ \sqrt{q_j}\lvert\psi_j\rangle&=\sum_k w_{kj}\sqrt{r_k}\lvert\chi_k\rangle \end{align}$$ mit $\sum_i u_{ki}u_{k'i}^*=\delta_{kk'}$Und $\sum_j w_{kj}w_{k'j}=\delta_{kk'}$. Die zweite Gleichung ergibt dann $\sqrt{r_k}\lvert\chi_k\rangle= \sum_j w_{kj}^*\sqrt{q_j}\lvert\psi_j\rangle$. Nachdem wir dies in die erste Gleichung eingesetzt haben, erhalten wir $$\sqrt{q_j}\lvert\psi_j\rangle=\sum_i v_{ij}\sqrt{p_i}\lvert\phi_i\rangle$$ mit $v_{ij} = \sum_k u_{ki}w_{kj}^*$, dh, $V=UW^\dagger$ist eine partielle Isometrie.

Willst du unbedingt haben$\langle\psi_i|\psi_j\rangle=\delta_{ij}$Und$\langle\phi_k|\phi_l\rangle=\delta_{kl}$, oder eine äquivalente Bedingung, die sicherstellt, dass beide Ensemble-Zerlegungen optimal sind. Andernfalls ist es einfach, auf viele verschiedene, völlig unabhängige Zerlegungen zu kommen.

Aufgrund der Optimalitätsbedingung sind beide Zerlegungen Eigenzerlegungen von$\rho$. Somit$n=m$Und$p_i=q_i$, wenn wir bestellen$p_j$Und$q_k$nach abnehmender Größe. Der$|\psi_j\rangle$Und$|\phi_k\rangle$für einen bestimmten Eigenwert sind eine orthonormale Basisbasis für den entsprechenden Eigenraum, daher sind sie durch einen einheitlichen Operator verknüpft. Erweitern Sie für den globalen unitären Operator$|\psi_j\rangle$Und$|\phi_k\rangle$auf eine orthonormale Basis und dann einfach abbilden$|\psi_i\rangle$Zu$|\phi_i\rangle$. Dies funktioniert auch, wenn die$p_i$Und$q_k$sind nicht bestellt, nur wegen$\langle\psi_i|\psi_j\rangle=\delta_{ij}$Und$\langle\phi_k|\phi_l\rangle=\delta_{kl}$.

Vielleicht besteht die eigentliche Aufgabe hier darin, zu zeigen, dass eine optimale Zerlegung impliziert$\langle\psi_i|\psi_j\rangle=\delta_{ij}$. Dies hängt mit Eigenschaften der Singulärwertzerlegung zusammen , die eine knappe Beschreibung der optimalen Näherungen bezüglich der Frobenius-Norm und der Spektralnorm gibt . Hinweis: Die Bedingung$\langle\psi_j|\psi_j\rangle=1$Und$\sum_{j=1}^n{p_j}=1$reicht nicht aus, um diese Art von Optimalität zu beschreiben, auch wenn ich das ursprünglich behauptet habe. Diese Frage stellt sich also als etwas fortgeschritten heraus, da es nicht trivial ist, den Sinn zu beschreiben, in dem die Zerlegung optimal ist, wenn Sie sich nicht nur auf die Singularwertzerlegung für diesen Teil beziehen.

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Hier ist ein einfaches Gegenbeispiel zum Kommentar von Norbert Schuch, dass "zwei Zerlegungen durch Isometrien zusammenhängen, unabhängig davon gilt , ob die Vektoren orthonormal sind":$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & \epsilon^2\end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 \\ \epsilon\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & \epsilon\end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 \\ -\epsilon\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -\epsilon\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}+\epsilon^2\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}$

Keine Isometrie kann abbilden$(\begin{bmatrix}1 \\ \epsilon\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1 \\ -\epsilon\end{bmatrix})$Zu$(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix})$, auch nicht bei Umskalierung, da Isometrien Winkel erhalten. Das erste Vektorpaar ist nahezu parallel, während das zweite Vektorpaar orthogonal ist.