Entropie des Subsystems maximiert?

Lassen A Und B Seien 2 Subsysteme eines quantenmechanischen Systems, also ist ein Zustand des gesamten Systems ein Vektor in A ⊗ B . Soweit ich weiß, ein Dichteoperator ρ kann im Allgemeinen nicht als Tensorprodukt der Dichteoperatoren seiner Subsysteme geschrieben werden. Wenn ρ A Und ρ B die Dichteoperatoren zweier unabhängiger Systeme sind, dann kann man schreiben:

ρ = ρ A ⊗ ρ B .
Andernfalls (die beiden Systeme sind verschränkt), um einen Ausdruck zu erhalten, der die gleichen Informationen wie enthält ρ A , müssten Sie die partielle Spur des Operators über den Unterraum führen B :
ρ ~ A = T R B ρ .

Nun wissen wir, dass im thermodynamischen Gleichgewicht die von Neumann-Entropie des Systems (von ρ ) ist maximal. Können wir daraus die von Neumann-Entropie der reduzierten Dichtematrix ableiten ρ ~ A ist auch maximal?

Liegt keine Verstrickung vor,

S [ ρ A ⊗ ρ B ] = S [ ρ ] = S [ ρ A ] + S [ ρ B ]
gilt, und da alle Ausdrücke größer als Null sind, könnte man dafür argumentieren S [ ρ ] für mich maximiert, muss man auch maximieren S [ ρ A ] Und S [ ρ B ] . Für ein verschränktes System funktioniert das nicht mehr, weil wir hier keine Additivität der Entropie haben, sondern nur noch Subadditivität für ρ ~ A = T R B ρ Und ρ ~ B = T R A ρ . Ist S [ T R B ρ ] noch maximiert?

Bearbeiten: Um einen Grund anzugeben, warum ich das frage. Die Frage, über die ich ursprünglich nachgedacht habe, war: Wenn sich ein Quantensystem im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, befinden sich dann auch die Teilsysteme im thermodynamischen Gleichgewicht? Meine naive Antwort darauf ist "Ja, das sollten sie sein", aber da bin ich mir nicht sicher, und ich kann keinen vernünftigen Grund nennen, warum sie es sollten.

Was Sie interessiert, wird als Verschränkungsentropie bezeichnet .
Nun ja, insbesondere im Verhalten der Verschränkungsentropie für das thermodynamische Gleichgewicht.
Was meinst du mit "thermodynamischem Gleichgewicht"? Ein isoliertes System im Gleichgewicht, in welchem ​​Fall es sich um einen Zustand maximaler Entropie handelt (in diesem Fall befinden sich trivialerweise auch alle Subsysteme in einem Zustand maximaler Entropie), oder ein System, das an ein Thermalbad im Gleichgewicht gekoppelt ist?
Was meinst du mit "in diesem Fall befinden sich trivialerweise alle Subsysteme auch in einem Zustand maximaler Entropie"? Warum ist das trivial? Das ist der Kern meiner Frage. Wenn dies trivial ist, dann ist es trivial, dass S [ T R B ρ ] wird maximiert, wenn S [ ρ ] maximiert ist. Ich weiß, dass Sie die Subsysteme als kanonische Ensembles und das gesamte System als mikrokanisches System behandeln könnten, und deshalb SOLLTE die Antwort auf meine Frage "Ja, natürlich" lauten. Aber ist es?
Nun, der maximale Entropiezustand ist der maximal gemischte Zustand ρ ∝ 1 1 , der eindeutig ein Produktzustand ist, und maximal gemischte Ränder hat. Wenn Sie den maximal gemischten Zustand mit einer bestimmten Energie wollen, müssen Sie sich zunächst mit dem Hamilton-Operator genauer befassen. PS: Bitte verwenden Sie in Ihren Antworten @NorbertSchuch, sonst erhalte ich keine Benachrichtigung über Ihre Antworten.

Antworten (1)

Angenommen, Sie betrachten nicht interagierende Subsysteme, nehmen wir zwei davon, S 1 Und S 2 , bei gegebener Gesamtenergie E = E 1 + E 2 , und suchen Sie einen Zustand maximaler Entropie.

Wie Sie bereits bemerkt haben, ist die Subadditivität der Entropie in Gegenwart von Verschränkung S ≤ S 1 + S 2 , schließt verschränkte Zustände aus und bedeutet, dass die Entropie notwendigerweise ihr Maximum auf der Menge unverschränkter Zustände erreicht, die mit dem Gegebenen kompatibel sind E .

Sortieren Sie nun die letztere Menge beispielsweise nach der Energie eines Teilsystems E 1 = ϵ . Für jede E 1 = ϵ , ist der Zustand maximaler Entropie das direkte Produkt ρ 1 0 ( ϵ ) ⊗ ρ 2 0 ( E − ϵ ) von Subsystemzuständen mit maximaler Entropie ρ 1 0 ( ϵ ) , ρ 2 0 ( E − ϵ ) Energien entsprechen ϵ , E − ϵ . Die Gesamtentropie ist S 0 ( ϵ ) = S 1 0 ( ϵ ) + S 2 0 ( E − ϵ ) , und das Problem wird auf die Maximierung reduziert S 0 ( ϵ ) . Das heißt, wir brauchen ϵ so dass

D S 0 D ϵ = D S 1 0 D ϵ ( ϵ ) − D S 2 0 D ϵ ( E − ϵ ) = 0
Von hier aus ergibt ein Standardargument, dass der gewünschte Wert von ϵ ist das wofür S 1 Und S 2 für die Gesamtenergie im gegenseitigen thermischen Gleichgewicht (gemeinsame Temperatur) stehen E .

Bedeutet dies, dass sich jedes Subsystem in seinem eigenen maximalen Entropiezustand befindet?

Relativ zu seinen anderen Zuständen identischer Energie E ich , Ja. Über das ganze Set { ρ ich 0 ( E ich ) } E ich kompatibel mit gegeben E , nein .

Der Grund ist, dass die Entropie von Gleichgewichtszuständen ρ ich 0 ( E ich ) steigt mit der Energie E ich , also für jedes Teilsystem die Entropie S ich 0 ( E ich ) erreicht sein Maximum für Maximum E ich . Aber wenn dies geschieht, hat das komplementäre Subsystem eine minimale Energie E − E ich , also minimale Entropie, qed.

Der Schlüssel zur Beantwortung meiner Frage wäre der Teil, in dem Sie sagen, dass die Subsysteme nicht im Fall der maximalen Entropie verwickelt sind und dass der Dichteoperator dann ein Tensorprodukt der Dichteoperatoren der Subsysteme ist. Warum das? Sie sagen, Subadditivität schließt verschränkte Zustände aus. Dies erscheint mir kontraintuitiv, ich hätte erwartet, dass sich die Systeme mit zunehmender Entropie immer mehr verschränken.
@Quantumwhisp Entschuldigung für die Verzögerung. Subadditivität sagt im Grunde aus, dass die Gesamtentropie eines zweiteiligen Zustands ist ρ 12 ist höchstens gleich der Summe der Entropien der "lokalen" Zustände ρ 1 = T R 2 ρ 12 , ρ 2 = T R 1 ρ 12 , oder S ( ρ 12 ) ≤ S ( ρ 1 ) + S ( ρ 2 ) . Gleichheit tritt z ρ 12 = ρ 1 ⊗ ρ 2 . Mit anderen Worten, die Gesamtentropie erreicht ein Maximum bei unverschränkten direkten Produktzuständen.
@Quantumwhisp Um eine Intuition zu bilden, denken Sie in Bezug auf Korrelationen: maximale Entropie = "Fehlen von Korrelationen", während Verschränkung = "(Quanten-) Korrelationen vorhanden". Daher haben verschränkte, korrelierte Zustände eine geringere Entropie als unverschränkte Zustände.
Ich verstehe den intuitiven Teil, und ich verstehe auch, was Sie mit der Subadditivität meinen, die die Verschränkung ausschließt: Betrachten Sie den Maximum-Entropie-Operator ρ ^ M A X . Betrachten Sie in der Nähe davon alle ρ ^ mit den gleichen lokalen Staaten ρ ^ 1 Und ρ ^ 2 . Dann ρ ^ M A X , von all diesen Operatoren, ist derjenige mit ρ = ρ 1 ⊗ ρ 2 . Ich denke, diese Mathematik ist wichtig :)
Ja ist es. Wenn Sie an einem Beweis interessiert sind, siehe Abschnitt. 11.3.4, S. 515-16, in Nielsen&Chuang, books.google.com/…
Mit diesen zusätzlichen Informationen akzeptiere ich Ihre Antwort :)
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