Muss eine 2D (Realraum) Wellenfunktion immer ein Produkt zweier 1D Wellenfunktionen sein (also immer trennbar)?

Im ersten Quantisierungsformalismus für viele Teilchen-Quantenmechanik, lassen Sie | X ⟩ Und | j ⟩ sei zwei Basis für zwei Teilchen A Und B : ψ A ( X ) = ⟨ X | ψ A ⟩ Und ψ B ( j ) = ⟨ j | ψ B ⟩ .

Wie ich es verstehe, | R → ⟩ = | X ⟩ ⊗ | j ⟩ , Wo R → ist der übliche 2D-Positionsvektor. Der Vielteilchenzustand ist | Ψ ⟩ = | ψ A ⟩ ⊗ | ψ B ⟩ und die Wellenfunktion dann:

Ψ ( R → ) = ⟨ R → | Ψ ⟩ = ( ⟨ X | ⊗ ⟨ j | ) ( | ψ A ⟩ ⊗ | ψ B ⟩ ) = ψ A ( X ) ψ B ( j )
Es impliziert also, dass eine solche Zwei-Teilchen-Wellenfunktion in 2D immer die Produktform haben wird. Stimmt das generell oder folgt daraus, dass die Teilchen zunächst auf eine Dimension beschränkt waren?

Wenn ja, wenn wir ein einzelnes Teilchen haben, das sich in zwei Dimensionen bewegt, in der Sprache der linearen Algebra, was für ein Objekt ( ⟨ X | ⊗ ⟨ j | ) | ψ ⟩ ist (mit anderen Worten, wenn wir den 2D-Positionsvektor als Tensorprodukt zweier Hilbert-Räume betrachten X Und j , die die Ein-Teilchen-Wellenfunktion beabstanden | ψ ⟩ gehören)?

Ich verstehe nicht, ob Sie die Wellenfunktion für zwei Partikel in einer Dimension (für einen 2D-Konfigurationsraum), für ein Partikel in zwei Dimensionen (einen anderen 2D-Konfigurationsraum) oder für zwei Partikel in zwei Dimensionen (ein 4D Konfigurationsbereich).

Antworten (1)

Nein, das stimmt nicht generell. Der Grund ist, dass Sie davon ausgehen, dass ein allgemeiner Zwei-Teilchen-Zustand gegeben ist durch | ψ A ⟩ ⊗ | ψ B ⟩ , und das ist nicht der Fall. Ein allgemeiner Zwei-Teilchen-Zustand ist eine lineare Kombination von Produktzuständen, d. h

| Ψ ⟩ = ∑ N C N | ψ A N ⟩ ⊗ | ψ B N ⟩
In der Positionsbasis würden wir schreiben

| Ψ ⟩ = ∫ D X 1 ∫ D X 2   ψ ( X 1 , X 2 ) | X 1 ⟩ ⊗ | X 2 ⟩

Wo ψ ( X 1 , X 2 ) ist ein Element von L 2 ( R ) ⊗ L 2 ( R ) ≃ L 2 ( R 2 ) und ist nicht zum Faktorisieren verpflichtet. Wenn es ein Faktor ist , so ψ ( X 1 , X 2 ) = ψ A ( X 1 ) ψ B ( X 2 ) , dann können wir schreiben

| ψ ⟩ = ( ∫ D X 1 ψ A ( X 1 ) | X 1 ⟩ ) ⊗ ( ∫ D X 2 ψ B ( X 2 ) | X 2 ⟩ ) = | ψ A ⟩ ⊗ | ψ B ⟩

aber es gibt keinen Grund zu erwarten, dass dies a priori wahr ist . In der Tat, wenn die beiden Teilchen dann ununterscheidbare Fermionen sind ψ ( X 1 , X 2 ) = − ψ ( X 2 , X 1 ) , was ausreicht, um zu zeigen, dass sie sich nicht in einem Produktzustand befinden können.

Sie könnten an dieser Antwort interessiert sein , die ich über den Unterschied zwischen dem direkten Produkt geschrieben habe H A × H B und das Tensorprodukt H A ⊗ H B . Der Hauptunterschied ist der zentrale Punkt dieser Antwort, nämlich dass Elemente des ersteren alle Produktzustände sind, während Elemente des letzteren lineare Kombinationen von Produktzuständen sind. Die Modellierung zusammengesetzter Systeme unter Verwendung der letzteren Konstruktion eröffnet die Möglichkeit, Nichtproduktzustände zu haben, die im physikalischen Kontext üblicherweise als verschränkt bezeichnet werden.

Verstanden. Danke.
Irgendwelche Gedanken über den zweiten Teil? Nämlich, wie man interpretiert | ψ ⟩ in der zweiten Gleichung, wenn es ein einzelnes Teilchen darstellt, das sich in 2 Dimensionen bewegt ( X 1 Und X 2 in der Gleichung)? Zu welchem ​​Hilbertraum gehört es?
@UCat Ich hatte den Eindruck, dass Sie nach zwei Partikeln gefragt haben, von denen sich jedes in 1D bewegt. Meinten Sie, dass sich jedes Partikel in 2D bewegt?
Nein, das war der erste Teil. Als separate, aber verwandte Frage, wenn wir ein einzelnes Partikel betrachten, das sich in 2D bewegt; ψ ( X , j ) = ⟨ X , j | ψ ⟩ = ( ⟨ X | ⊗ ⟨ j | ) | ψ ⟩ . Macht den "Einzelpartikel"-Zustandsvektor | ψ ⟩ gehören für diesen Fall zu dem von aufgespannten Tensorproduktraum | X ⟩ ⊗ | j ⟩ ?
@UChat Die Einzelteilchen-Wellenfunktion ψ ( X , j ) gehört L 2 ( R 2 ) , Ja. Der Hilbert-Raum, der einem einzelnen Partikel zugrunde liegt, das sich in zwei Dimensionen bewegt, ist isomorph zum Hilbert-Raum, der zwei unterscheidbaren Partikeln zugrunde liegt, die sich in einer Dimension bewegen. Wenn die Partikel jedoch nicht unterscheidbar sind, gilt dies nicht mehr.
Muss eine 2D (Realraum) Wellenfunktion immer ein Produkt zweier 1D Wellenfunktionen sein (also immer trennbar)?
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