Zustandsdefinition eines Quantensystems

In QM lösen wir nach den Eigen-Kets des Hamilton-Operators auf H ^ und sagen, dass der Zustand meines Systems in einer linearen Überlagerung dieser Eigenzustände liegt { | N ⟩ } wie die Beziehung schon sagt | ψ ⟩ = ∑ N = 0 ∞ | N ⟩ ⟨ N | ψ ⟩ und dann kann alles über das System, seinen Impuls, seine Position usw. durch die Aktion entsprechender Operatoren auf gefolgert werden | ψ ⟩ . Ähnliches wird für den Fall eines einfachen harmonischen Oszillators getan.

  1. Aber was bedeuten kohärente Zustände in diesem Zusammenhang und welche Beziehung haben kohärente Zustände zum Zustand des Systems? | ψ ⟩ ? Bieten kohärente Zustände uns nur eine Grundlage, um unseren Zustand auszudrücken?

  2. Warum ist der Hamilton-Operator so besonders im Fall der Basisbildung oder Auflösung des Zustands eines Quantensystems? warum können wir den Zustand des Systems nicht zum Beispiel in die Impulsbasis schreiben, ohne nach der Eigenbasis von aufzulösen H ^ ? Denn wenn wir das für jedes System tun können, P ^ | ϕ ⟩ = ϕ | ϕ ⟩ würde uns den Zustand des Systems als geben | ψ ⟩ = ∫ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | ψ ⟩ D ϕ würde uns für jedes System den gleichen Zustand geben.

Antworten (1)

Zu deiner ersten Frage, ja. Sie sind nur eine Basis für den Hilbert-Raum. Sie können verwendet werden, um jeden Zustand als Überlagerung von Basiselementen auszudrücken, und dasselbe gilt für die Zustände jedes hermiteschen Operators (jeder Observable). Sie könnten also einen beliebigen Zustand in Form von Impuls-Eigenzuständen usw. ausdrücken.

Für Ihre zweite Frage sind die vom Hamiltonian gelieferten Zustände etwas Besonderes, weil sie mit der zeitlichen Entwicklung der Wellenfunktion zusammenhängen. Eine Funktion nur als Superposition anderer Funktionen zu schreiben, mag auf den ersten Blick nicht sehr sinnvoll erscheinen, aber hier ist der Hamilton-Operator der Operator, der für die Zeitentwicklung verantwortlich ist. Da die Energieeigenzustände Eigenzustände des Hamiltonoperators sind, gibt es nach einer Energiemessung keine zeitliche Vermischung von Energiezuständen. Dies ist die Natur hinter ihrer "Kohärenz". Messung E versetzte das System in einen H-Eigenzustand, die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion ist trivial (eine skalare Phase multipliziert mit dem Energiezustand der vorherigen Messung). Alle zukünftigen E-Messungen werden gleich sein. Messen Sie die Position und die Wellenfunktion unmittelbar nach der Messung ist eine Dirac-Delta-Funktion. Um die korrekte Zeitentwicklung zu erhalten, müssen Sie die Deltafunktion als Überlagerung von Energieeigenzuständen schreiben. Die Zeitentwicklung wird nicht trivial sein, die Zustandsmischung wird sich mit der Zeit ändern und zukünftige Positionsmessungen werden sich von der letzten Messung unterscheiden. Das ist nicht kohärent.

Tatsächlich nehmen Hamiltonsche Eigenzustände in der QM einen Sonderstatus ein. Einige meiner Aussagen können sich ändern, wenn es ein zeitabhängiges Potenzial gibt, aber hoffentlich ist das Wesentliche klar.

Danke für die Antwort @ggcg. Was ist mit diesem "Warum können wir den Zustand des Systems nicht zum Beispiel in die Impulsbasis schreiben, ohne nach der Eigenbasis von aufzulösen? H ^ ? Denn wenn wir das für jedes System tun können, P ^ | ϕ ⟩ = ϕ | ϕ ⟩ würde uns den Zustand des Systems liefern, da |ψ⟩=∫|ϕ⟩⟨ϕ|ψ⟩dϕ uns den gleichen Zustand für jedes System liefern würde. "
Sie können den Zustand eines Systems (zu einem bestimmten Zeitpunkt) absolut in Form der Impulszustände schreiben (das wird implizit in meiner Antwort angesprochen). Aber Sie werden nicht in der Lage sein, den Zustand rechtzeitig für ein allgemeines System zu entwickeln.
Wird mir das nicht den gleichen Zustand für alle Systeme geben?
Es verdammt noch mal besser! Der Punkt der Überlagerung besteht darin, eine "Repräsentation" eines gegebenen Zustands in Bezug auf andere Zustände zu geben. Die Frage, die Sie meiner Meinung nach stellen möchten, ist, was ich durch eine Überlagerung gewonnen habe. In der QM sind die Koeffizienten der Entwicklung Wahrscheinlichkeitsamplituden zum Messen eines gegebenen Werts, der mit der Observablen verbunden ist, für die ein Eigenzustand die Basis ist. Wenn Sie also eine beliebige Funktion in Bezug auf eine Impulsbasis erweitern, gibt der Koeffizient cn die Wahrscheinlichkeit an, einen Wert von pn usw. zu messen. Wiederum bieten die Energiezustände eine natürliche Basis für die Zeitentwicklung.
@NamanAgarwal, meinst du "gleicher Zustand für alle Systeme" oder gleicher Zustand für alle Basisoptionen? Das ist anders.
Ich meine den gleichen Zustand für alle Systeme.
Was definiert für Sie ein „System“? Das SHO, das Wasserstoffatom usw. Der Zustand wird durch Ihr Psi gegeben, was auch immer das ist. Die Phi sind nur eine Basis für eine Erweiterung. Randbedingungen an verschiedenen Systemen können einen daran hindern, verschiedene Systeme jemals in den Zustand psi zu versetzen. Aber für diejenigen, die in psi platziert werden können, würde die gleiche Erweiterung resultieren. Die Zeitentwicklung wäre anders, wenn das Potential für jedes System unterschiedlich ist.
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