Wie entwickelt sich ein Zustand in der Quantenmechanik?

Ich habe eine Frage zur Zeitentwicklung eines Zustands in der Quantenmechanik. Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ist gegeben als

ich ℏ D D T | ψ ( T ) ⟩ = H | ψ ( T ) ⟩

Ich lerne die Quantenmechanik selbst, daher gibt es einige konzeptionelle Fragen, die mich verwirren. Ich lese ein Buch, in dem der Autor betont, dass jeder Zustand in Bezug auf die Eigenzustände und Eigenwerte des Hamilton-Operators erweitert werden könnte. Also bedeutet es in der obigen Gleichung, dass es nicht erforderlich ist ψ ( T ) ein Eigenzustand sein (dh es könnte alles sein)?

Ich frage mich, dass dies nur wahr ist, wenn wir versuchen, einen stationären Zustand in Bezug auf die Eigenzustände zu erweitern

C N ( 0 ) = ⟨ E N | ψ ( 0 ) ⟩

Aber wenn der Zustand zeitabhängig ist, der Expansionskoeffizient C N ist nicht länger stationär, sondern entwickelt sich mit der Zeit, gibt das Buch an

C N ( T ) = C N ( 0 ) exp ⁡ ( − ich E N T )
Wo E N ist der Eigenwert. So ist die zeitliche Entwicklung des Staates

| ψ ( T ) ⟩ = ∑ N C N ( T ) | E N ⟩

ist es richtig? Ich verstehe die Mathematik. Aber wie verstehen wir physikalisch den Anfangskoeffizienten? C N ( 0 ) entwickelt sich in der Exponentialform? und warum das Exponential einen Eigenwert hat E N ? Es scheint mir, dass unterschiedliche Eigenwerte in der Zeitentwicklung eine unterschiedliche Rolle spielen, warum ist das so? Wenn wir uns die Mathematik ansehen, scheint der Beitrag des Eigenzustands mit höherer „Energie“ (Eigenwert) mit der Zeit schneller abzunehmen, was ist der physikalische Grund dafür?

Die letzte Frage ist sogar verwirrend. Der Text sagte, dass das System viele verschiedene Zustände haben könnte. Aber wenn Sie es messen, wird nur einer der Eigenzustände angezeigt und der gemessene Wert ist der entsprechende Eigenwert. Ich verstehe diese Aussage nicht, sondern gehe einfach davon aus, dass sie wahr ist. Also wenn der Zustand des Systems anfangs ist | ψ ( 0 ) ⟩ und es entwickelt sich mit der Zeit als | ψ ( T ) ⟩ . Ich messe das System zur Zeit T = τ , stimmt es also zu diesem Zeitpunkt immer noch, dass das Ergebnis einer der Eigenwerte sein muss, selbst wenn der Zustand zeitabhängig ist?

Antworten (1)

Zuerst haben Sie gefragt, ob Wellenfunktionen nicht Eigenfunktionen des Hamiltonoperators sein müssen. Das ist richtig; Sie können dies durch eine Fourier-Zerlegung anzeigen. Jede Eigenfunktion des Hamilton-Operators hat eine andere Energie und damit eine andere Frequenz (die beiden sind im Wesentlichen äquivalent durch E = ℏ ω ), und diese Frequenzen bestimmen, wie sich jede Eigenfunktion mit der Zeit entwickelt. Dennoch ist es völlig legal, lineare Kombinationen von Eigenfunktionen zu addieren, um eine beliebige Wellenfunktion zu konstruieren – und wir tun dies oft.

Ich denke, eine gute Möglichkeit, dies zu visualisieren, besteht darin, jede Eigenfunktion des Hamilton-Operators als auf der komplexen Ebene präzedierend zu betrachten. Es ist der Eigenwert (die Energie oder die Frequenz), der bestimmt, wie schnell diese Eigenfunktion über die Zeit präzediert.

An einer Stelle erwähnen Sie, dass Sie dachten, dass Zustände mit höheren Energien mit der Zeit schneller abnehmen würden. Komplexe Exponentiale gehen nicht so. Sie sind wie Sinus- und Kosinuswellen, oder Sie können sie sich (wie ich) vorstellen, als würden sie einfach Kreise auf der komplexen Ebene nachzeichnen. Höhere Energiezustände zeichnen diese Kreise einfach schneller nach .

Ihre letzte Frage betrifft eher Konventionen. Denken Sie daran, dass ein komplexes Vielfaches eines Eigenzustands immer noch ein Eigenzustand ist, und als solcher ist der entwickelte Zustand immer noch ein Eigenzustand des Hamilton-Operators, selbst wenn sich ein Eigenzustand mit der Zeit entwickelt hat. Wenn also eine entwickelte Wellenfunktion zu einem entwickelten Eigenzustand kollabiert wird, gilt die Gesamtidee, dass das Ergebnis ein Eigenwert mal einem Eigenzustand ist, immer noch.

Danke für deine klare Erklärung, es hilft mir jetzt, mehr zu verstehen. Ich schätze Ihren Hinweis, dass die komplexe Exponentialfunktion nicht mit der reellen Exponentialfunktion identisch ist. Kann ich also sagen, dass der Zustand mit höherer Energie (Eigenwert) schneller schwingt, wenn der Eigenwert in der komplexen Exponentialfunktion physikalisch erscheint?
Übrigens zur letzten Frage. Was mich verwirrt, ist das ... lassen Sie es mich als neue Frage umformulieren: Wenn das System zeitabhängig ist, entwickelt sich der Zustand mit der Zeit | ψ ( T ) ⟩ , was kann ich also über die Eigenzustände sagen? Bleiben sowohl Eigenzustände als auch Eigenwerte während der Zeitentwicklung immer unverändert? Die Mathematik ist hier etwas kompliziert, wenn wir haben | ψ ( T ) ⟩ = ∑ N C N ( T ) | E N ⟩ , so sieht es aus Eigenzustände | E N ⟩ unverändert bleiben aber die Projektionskoeffizienten C N jetzt zeitlich geändert.
Sie können nach Belieben sagen, dass entweder (a) die Koeffizienten zeitlich konstant sind und sich die Eigenzustände entwickeln oder (b) sich die Koeffizienten zeitlich entwickeln und die Eigenzustände nicht. Die beiden sollten mathematisch äquivalent sein. Es ist nur eine Frage des Geschmacks und/oder der mathematischen Buchführung.
ach, ich verstehe. Vielen Dank für deine Hilfe. Es klärt wirklich meine Fragen.
@Muphrid in Bezug auf den ersten Teil einer Frage, was bedeutet es, „die Zeitentwicklung eines Systems nicht in einem Energie-Eigenzustand“ zu haben? Es steht auf dem Lehrplan meines Quantenmechanikkurses, und ich kann kein Material finden, in dem erklärt wird, wie sich Systeme mit der Zeit entwickeln, wenn sie sich nicht in einem Eigenzustand befinden.
@inya Es geht wirklich nur darum, die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung anzuwenden. Die Antwort sollte sich direkt mit diesem Problem befassen: Sie können eine Wellenfunktion in eine lineare Kombination von Energieeigenzuständen zerlegen, und jeder dieser Zustände entwickelt sich mit der Zeit entsprechend seiner charakteristischen Frequenz. Dann addieren Sie sie einfach wieder zusammen, um die entwickelte Wellenfunktion zu erhalten.
Wie entwickelt sich ein Zustand in der Quantenmechanik?
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