Beweis der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung

Ich habe eine Frage zum Beweis der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung. Wenn wir also einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator haben, können wir die Schrödinger-Gleichung lösen, indem wir die Methode der Variablentrennung anwenden: Wir schreiben unsere allgemeine Lösung als ψ ( R , T ) = ψ ( R ) ∗ F ( T ) und wir kommen zu den beiden Gleichungen: eine für f(t) und eine für die ψ ( R ) .

F ( T ) = e − ich ℏ H T
Und
H ψ ( R ) = E ψ ( R )
In Büchern wird die zweite Gleichung im Allgemeinen als TISE bezeichnet und als Eigenwertproblem für die Hamilton-Funktion angesehen, um die stationären Zustände zu finden. Was ich jetzt nicht verstehe, ist, warum wir diese Gleichung als Eigenwertproblem für den Hamiltonian betrachten, da wir eine Wellenfunktion haben ψ ( X ) was Eigenzustand für H sein soll. Also wenn ψ ( X ) Eigenzustand für H ist, bedeutet dies, dass H in Koordinatenbasis diagonal ist, aber ich weiß, dass es nicht wahr ist, da H den Begriff hat P 2 2 M darin, die nicht diagonal in Koordinatenbasis ist. Wo liege ich falsch?? Vielen Dank

H ist nicht diagonal in Koordinatenbasis, sondern in der ψ ( R ) Eigenbasis rechnest du...
ok danke es befasst sich damit ψ ( R ) und nicht die Koordinaten eigentlich. Aber warum sind wir uns dessen sicher ψ ( R ) ist Eigenfunktion von H ? Wenn ich die Variablen trenne, sage ich nur, dass ich eine Funktion habe F ( T ) und eine Funktion ψ ( R ) , es kann jede zu bestimmende Funktion sein

Antworten (1)

Beginnen Sie mit der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung

H ^ Ψ ( R , T ) = ich ℏ ∂ T Ψ ( R , T ) .

Mit dem Ansatz Ψ ( R , T ) = ψ ( R ) F ( T ) Erträge

F ( T ) H ^ ψ ( R ) = ich ℏ ψ ( R ) ∂ T F ( T )

und über den Standardtrick zur Trennung von Variablen

ich ℏ F ˙ ( T ) F ( T ) = konst = H ^ ψ ( R ) ψ ( R ) ;

die beiden Seiten sind gleich, aber die LHS hängt nur davon ab T während die RHS nur davon abhängt R , also müssen sie jeweils konstant sein. Nennen wir dies Konstante E . Dann erhalten wir für den zeitabhängigen Teil

F ˙ ( T ) = − ich E ℏ F ( T )

Was offensichtlich durch gelöst wird

F ( T ) = exp ⁡ { − ich E ℏ T } .

Für den räumlichen Teil finden wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

H ^ ψ ( R ) = E ψ ( R ) ,

was, wie Sie beobachten, als Eigenwertgleichung für angesehen werden kann H ^ . Dies motiviert die Wahl des Namens für E : Physikalisch gesehen ist der Eigenwert des Hamiltonoperators die Energie.

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