Gibt es "geschlossene" Lösungen der Schrödinger-Gleichung?

Gibt es geschlossene Lösungen für die Wellenfunktion der Schrödinger-Gleichung?

ich meine Lösungen in Form Ψ ( X , T ) = F ( X − T , j , z , T )

die nicht durch unendliche Reihen gegeben sind.

Beispielsweise gibt es für die 1+1D-Wellenfunktion die geschlossene d'Alambert-Lösung

F ( X − v T ) + F ( X + v T )
Wo v ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.

Gibt es etwas, das Ihnen an den üblichen Antworten auf beispielsweise den unendlichen quadratischen Brunnen, den endlichen quadratischen Brunnen, den harmonischen Oszillator oder das wasserstoffähnliche Atom nicht gefällt? Haben Sie Einwände dagegen, dass sie aus mehreren Zuständen bestehen? Denn für jeden dieser Zustände ist jeder Zustand exakt lösbar.
Wie sieht es mit den Wasserstoffwellenfunktionen aus? hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydwf.html
Ihre nichtdispersive Lösung des d'Alembertian löst die freie Schrödinger-Gleichung nicht. Aber der dispersive Gaußsche tut es.

Antworten (1)

Jede "schöne" quadratnormalisierbare Funktion F ( X ) kann zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung sein. Betrachten Sie dazu den Fall eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators und definieren Sie die Funktion

F ( X , T ) ≡ e − ich H T / ℏ F ( X ) .

Das geht aus der funktionalen Form hervor ich ℏ ∂ F ( X , T ) / ∂ T = H F ( X , T ) , so dass es sich um eine Lösung der Schrödinger-Gleichung handelt. Wenn der Hamilton-Operator zeitabhängig ist, können wir Dysons Trick verwenden und definieren

F ( X , T ) ≡ Texp [ − ich ℏ ∫ 0 T H ( T ' ) D T ' ] F ( X ) ,

Wo Texp ist die zeitlich geordnete Exponentialfunktion, auf deren Details ich nicht eingehen werde.

Dies ist ungefähr so ​​​​geschlossen wie eine Lösung der Schrödinger-Gleichung, bis Sie ein Potential angeben.

Ich glaube, du bist gegangen F ( X ) in der rechten Seite Ihrer zweiten Gleichung. Und dein T e X P scheint genau die Art von "unendlicher Serie" zu sein, die OP vermeiden möchte.
Ja danke für den Hinweis! Was die unendliche Reihe betrifft, ja, definierend Texp ist ein bisschen wie ein Cop-out, aber wie ich bereits sagte, ist dies ungefähr die geschlossene Form, die Sie bekommen können, ohne das genaue Problem anzugeben. Wenn wir eine geschlossene Form bekommen könnten, dann wäre QFT in endlicher Zeit VIEL einfacher.
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