Zeitentwicklung der Dichtematrix für einen wechselwirkenden zweiteiligen Hamiltonoperator

Vielen Dank, dass Sie sich mit dieser Frage befasst haben, und für Ihre Geduld, da ich all diese Dinge gerade erst lerne. Ich habe einen zweiteiligen Zustand (Dichtematrizen mit Spur 1 und positiv):

ρ A B = ρ A ⊗ ρ B ,

in Gegenwart eines wechselwirkenden Hamiltonoperators:

H = A ^ ⊗ B ^ ,

Wo A ^ , ρ A ∈ B ( H A ) ebenso gut wie B ^ , ρ B ∈ B ( H B ) Wo B ( H ) bezeichnet beschränkte Operatoren auf dem Hilbert-Raum H . ρ B kann ein gemischter Zustand der Form sein oder nicht ρ B = ∑ ich A ich | ich B ⟩ ⟨ ich B | . Die Frage ist, ob die zeitliche Entwicklung von ρ A B hat folgende Form (und wie kann ich das beweisen?) :

ρ A B ( T ) = e ich T A ^ ρ A e − ich T A ^ ⊗ e ich T B ^ ρ B e − ich T B ^

Stimmt das generell? Ändern sich die Dinge, wenn die Dichtematrix jetzt dreigeteilt ist, dh. ρ A B C = ρ A ⊗ ρ B ⊗ ρ C .

Antworten (1)

Nein, das ist falsch.

e A ⊗ B kann im Allgemeinen nicht in Begriffen ausgedrückt werden e A Und e B , wie z e A ⊗ e B . Probieren Sie einfach ein zufälliges Beispiel aus.

Eine Möglichkeit, den Grund plausibel zu machen, besteht darin, festzustellen, dass die Taylor-Reihe von e A ⊗ B enthält nur Begriffe A N ⊗ B N , die Sie nicht ohne weiteres erhalten können e A Und e B .

Was tut dann ρ A B ( T ) aussehen? Wie vereinfache ich e ich T H ρ A ⊗ ρ B e − ich T H ?
Warum willst du es vereinfachen? Warum sollte das möglich sein?
Hallo! Vielen Dank für all Ihre Hilfe. Ich hatte gehofft, dies für den Fall zweier gekoppelter harmonischer Quantenoszillatoren mit einem Wechselwirkungsterm zu vereinfachen. Wird es möglich sein, die von-Neumann-Gleichung zu lösen? Gibt es auch eine nette Referenz, wo diese Art von Sachen, einschließlich Tensorprodukten, diskutiert werden?
Zeitentwicklung der Dichtematrix für einen wechselwirkenden zweiteiligen Hamiltonoperator
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