Über den Basiswechsel in der Quantenmechanik [geschlossen]

Angenommen, ich habe einen Quantenzustand$|\psi\rangle$als Linearkombination einiger Basisvektoren geschrieben$\{ | \varphi \rangle _i \}_{i \in \mathbb N}$von$\scr H$.

Ziel . Umschreiben$|\psi\rangle$in Bezug auf eine andere Grundlage$\{ | \phi \rangle _i \}_{i \in \mathbb N}$von$\scr H$.

Ich kann einen unitären Operator anwenden$U$, in mehrfacher Hinsicht.

1. Passive Transformation (AKA hält den Zustand fest und transformiert die Basis).

$\displaystyle | \psi_\varphi \rangle = \sum_i f_i |\varphi_i\rangle \longrightarrow \displaystyle | \psi_\phi \rangle = \sum_i g_i |\phi_i\rangle$, in der transformierten Basis$|\phi_i\rangle = U | \varphi_i \rangle$. Das Problem besteht darin, diese neuen Koeffizienten zu finden. Der$j$-ter Koeffizient$g_j$kann durch Projektion des Zustands gefunden werden$|\psi_\phi \rangle$über seine$j$-te Komponente$|\phi_j\rangle$:

$\displaystyle \langle \phi_j | \psi\rangle = \langle \phi_j |\sum_i g_i |\phi_i\rangle = \sum_i g_i \delta_{ji} = g_j$

Lassen Sie uns das gleiche Verfahren mit wiederholen$|\psi_\varphi \rangle$, da die beiden Formulierungen gleich sein müssen:

$\displaystyle \langle \phi_j | \psi\rangle = \langle \phi_j |\sum_i f_i |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i \langle \phi_j |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i \langle \varphi_j | U^\dagger |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i \langle \varphi_i | U |\varphi_j\rangle^* = \sum_i f_i U^{*}_{ij}$

Das bedeutet:

2. Aktive Transformation (AKA hält die Basis fest und transformiert den Zustand).

$\displaystyle | \psi \rangle = \sum_i f_i |\varphi_i\rangle \longrightarrow \displaystyle | U \psi \rangle = \sum_i h_i |\varphi_i\rangle$, im transformierten Zustand$U | \psi \rangle$.

Wie in 1., die$j$-ter Koeffizient$h_j$finden Sie die Projektion des Staates$|U \psi⟩$über seine j-te Komponente$|\varphi_j⟩$:

$\displaystyle ⟨\varphi_j|Uψ⟩=⟨\varphi_j|\sum_i h_i|\varphi_i⟩=\sum_ih_i\delta_{ji}=h_j$

Andererseits:

$\displaystyle \langle \varphi_j | U \psi\rangle = \langle \varphi_j |\sum_i f_i U |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i \langle \varphi_j | U |\varphi_i\rangle = \sum_i f_i U_{ji}$

Wir schließen daher:

Problem .$U_{ji} = U^*_{ij}$bedeutet$U = U^\dagger$, Aber$U$soll unitär sein, nicht selbstadjungiert. Daher sind die beiden Transformationen nicht äquivalent, obwohl sie es sein sollten. Was habe ich falsch gemacht?

Nachtrag . Der einzige Weg, den ich gefunden habe, um zu erhalten$h_j = g_j$ist zu tauschen$U$mit$U^\dagger$in der passiven Transformation (1.). Das bedeutet schreiben$U |\phi_i\rangle =| \varphi_i \rangle$anstatt$|\phi_i\rangle = U | \varphi_i \rangle$, aber das ist ein bisschen zusammenhanglos. Ich beginne mit der Basis$\{| \varphi_i \rangle\}$, also sollte ich mich bewerben$U$womit ich anfange.

Lösung . Eigentlich schreibt die Basiswechselformel genau das Gegenteil vor. Wikipedia zitieren:

Eine solche Umrechnung ergibt sich aus der Basiswechselformel, die die Koordinaten relativ zu einer Basis in Koordinaten relativ zur anderen Basis ausdrückt. Unter Verwendung von Matrizen kann diese Formel geschrieben werden${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A\,\mathbf {x} _{\mathrm {new} },}$Wo$\operatorname{old}$Und$\operatorname{new}$beziehen sich jeweils auf die zuerst definierte Basis und die andere Basis,${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }}$Und${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {new} }}$sind die Spaltenvektoren der Koordinaten desselben Vektors auf den beiden Basen, und${\displaystyle A}$ist die Basiswechselmatrix (auch Übergangsmatrix genannt), die die Matrix ist, deren Spalten die Koordinatenvektoren der neuen Basisvektoren auf der alten Basis sind.

In diesem Kontext$| \varphi _i\rangle$spielt die Rolle von$\operatorname{old}$, also hätte ich schreiben sollen$| \varphi _i\rangle = U |\phi_i \rangle$in 1.).

Es tut mir leid für meinen Fehler. Danke euch allen.