Warum sind Symmetrietransformationen notwendigerweise mit der Identität verbunden, die durch lineare unitäre Operatoren repräsentiert wird?

Nun, der Punkt ist nicht die Kontinuität der Repräsentation (wenn Kontinuität auf die Repräsentation bezogen wird, siehe den letzten Kommentar), sondern eine damit verbundene tiefere Tatsache, die die Gruppe selbst betrifft (obwohl einige vage Argumente, die auf der Kontinuität auch der Repräsentation beruhen, in der Literatur).

Man muss auch bedenken, dass ( Theorem von Wigner ) Symmetrien durch unitäre/antiunitäre Operatoren bis hin zu Phasen dargestellt werden . Dies stimmt mit der grundlegenden Tatsache der QM in Hilbert-Räumen überein, dass (reine) Zustände durch Einheitsvektoren bis hin zu beliebigen Phasen dargestellt werden.

Gruppen von Symmetrien werden daher durch Karten dargestellt$G \ni g\mapsto U_g$Wo

(A)$U_g$ist bis auf eine Phase und definiert

(b) die Anforderung zur Wahrung der Konzernstruktur abgeschwächt wird ($e$ist das neutrale Element von$G$):

$$U_e= e^{i\gamma(e)} I\:,\quad U_g U_f =e^{i\gamma(g,f)} U_{g\circ f}$$ für einige Phasen, die mit den Wahlen der unitären/antiunitären Operatoren zusammenhängen $U_h$.

Ich betone, dass angesichts des Satzes von Wigner der unitäre/antiunitäre Charakter von$U_g$kommt drauf an$g$nur (wenn der Hilbert-Raum eine Dimension größer als hat$1$) also die verbleibende Unklarheit bei der Fixierung der Karte$g \mapsto U_g$betrifft nur die willkürliche Phase und nicht den Charakter des Operators$U_g$.

Eine Abbildung, die (a) und (b) erfüllt (mit präziser Wahl der Operatoren).$U_g$) heißt unitäre projektive Darstellung von$G$.

In einigen Fällen, besonders wenn$G$mit weiteren Strukturen als die der Lie-Gruppe ausgestattet ist, ist es möglich, die Operatoren neu zu definieren$U_g$durch geeignete Phasen,$U'_g = \omega_g U_g$, um am Ende eine einheitliche Gruppendarstellung zu erhalten

$$U'_e= I\:,\quad U'_g U'_f = U'_{g\circ f}\:.$$ Dies ist ein schwieriges kohomologisches Problem mit wichtigen Ergebnissen, wie dem Satz von Bargmann , auf den ich hier nicht eingehen werde (Varadarajans Buch der Geometrie der QM enthält eine Liste relevanter und sehr heikler Ergebnisse in diesem Bereich der Theorie der Gruppenrepräsentation).

Um auf die Hauptfrage zurückzukommen, stellen Sie sich eine Gruppe vor$G$so dass jedes Element$g\in G$in das Produkt zerlegt werden kann$g= h^2 = h\circ h$. Ein triviales, aber physikalisch grundlegendes Beispiel ist$\mathbb R$als Additivgruppe.

Betrachten Sie als Nächstes eine einheitliche projektive Darstellung$G \ni g \to U_g$jeden zuordnen$g$mit einem unitären/antiunitären Operator$U_g$.

Die Beziehung$g=h\circ h$, unter Berücksichtigung von (b), impliziert

$$U_g = e^{i\gamma(h,g)} U_h U_h\:.$$

Egal ob$U_h$unitär oder antiunitär ist, die Zusammensetzung$U_hU_h$ist einheitlich und die Phasen spielen keine Rolle.$U_g$ist hier notwendigerweise einheitlich!

Insbesondere jede einheitliche projektive Darstellung von$\mathbb R$besteht notwendigerweise aus unitären Operatoren (selbst wenn Phasen nicht fest sind und wenn die Darstellung keine Stetigkeitseigenschaft hat). Dies ist einer der Ausgangspunkte, um die Quantenversion des Noether-Theorems zu formulieren .

Zusammenfassend, wenn$G$ist so das$g= h^2$für jeden$g\in G$und ein zugehöriges$h\in G$, dann darf jede Darstellung bis auf Phasen nur aus unitären Operatoren bestehen.

Dasselbe Argument gilt für den komplizierteren Fall, wo$g = h_1^2 \circ \cdots \circ h_N^2$.

Betrachten Sie nun eine Lie-Gruppe $G$.

Es gibt nur eine angeschlossene Komponente $G_0$das ist auch eine Lie-Untergruppe, die das neutrale Element enthält$e$. Diese Komponente ist beispielsweise$SU(2)$wenn die volle Gruppe ist$U(2)$, die orthochrone spezielle Poincaré-Gruppe für die Poincaré-Gruppe ,$SO(3)$für$O(3)$, usw.

In einer ausreichend kleinen Nachbarschaft$A$(was behoben werden kann, um zu befriedigen$A=A^{-1}$) von$e$In$G_0$, jedes Element$g \in A$kann geschrieben werden als$g = \exp(t T)$für irgendein Element$T$der Lie-Algebra von$G_0$und einige$t\geq 0$. Deshalb$g= h^2$Wo$h = \exp((t/2) T)$.

Schließlich ist es wie für jede topologisch zusammenhängende Gruppe möglich, dies zu beweisen$g \in G_0$ist das Produkt einer endlichen Zahl (abhängig von$g$) von Elementen in jeder Nachbarschaft$O$des neutralen Elements, so dass, unter$A=O$,

$$g = h_1^2 \circ \cdots \circ h_N^2$$

Daher können wir darauf schließen

SATZ. Darstellung auf einem Hilbert-Dimensionsraum$>1$eine Lügengruppe$G$in Form von unitären/antiunitären Operatoren bis hin zu Phasen gemäß Wigners Theorem -- dh mittels einer einheitlichen projektiven Darstellung$G\ni g \mapsto U_g$-- die Elemente der verbundenen Komponente von$G$die Identität enthalten, können nur durch einheitliche Operatoren dargestellt werden.

Antiunitäre Operatoren können entstehen, wenn die vollständige Lie-Gruppe dargestellt wird, wenn sie mehr als eine verbundene Komponente hat. Insbesondere die Elemente, die verschiedene Komponenten verbinden, können (müssen aber auch nicht) durch antiunitäre Operatoren dargestellt werden. Ein typisches Beispiel ist der Zeitumkehrbetrieb in$O(3,1)$was nicht dazugehört$SO(3,1)_+$.

Vielleicht bezieht sich die von Weinberg erwähnte Kontinuitätseigenschaft nicht auf die Repräsentation, sondern auf die Elemente der Gruppe. Die verbundene Komponente$G_0$einschließlich des neutralen Elements$e$besteht genau aus den Elementen von$G$an die angeschlossen werden kann$e$mittels einer kontinuierlichen Kurve von Elementen von$G$.

Wigners Theorem sagt:

jede Symmetrietransformation des Strahlraums wird durch eine lineare und einheitliche oder antilineare und antieinheitliche Transformation des Hilbert-Raums dargestellt. Die Darstellung einer Symmetriegruppe im Hilbert-Raum ist entweder eine gewöhnliche Darstellung oder eine projektive Darstellung.

Es scheint wahrscheinlich, dass sich der Symmetrieraum des Strahlenraums in zwei verbundene Teile aufspaltet, von denen eines aus unitären Transformationen und das andere aus anti-unitären Transformationen besteht. Aber das ist, um ehrlich zu sein, eine Wiederholung dessen, was Weinberg in dem gezeigten Auszug sagt. Der eigentliche Beweis dafür beruht wahrscheinlich auf einer genauen Untersuchung des Satzes von Wigner.

Hier ist Bargmans Artikel, der Wigners Theorem beweist; Der ursprüngliche Satz wird in Wigners Buch „Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik von Atomspektren “ bewiesen .