Operatordiagonalisierung in der Quantenmechanik

Lassen H ein Hilbertraum sein. Betrachten Sie einen beliebigen und nichtdiagonalen unitären Operator Ö : H → H die auf einen anfänglichen Quantenzustand einwirkt | ψ 0 ⟩ ∈ H einen neuen Quantenzustand erzeugen

| ψ ⟩ = Ö | ψ 0 ⟩ .
Nehmen Sie das jetzt auch an Ö leicht diagonalisierbar ist oder dass jemand sie effizient für uns diagonalisieren kann. Lassen Ö ' sei die Diagonalisierung von Ö .

Nun möchte ich verstehen, was passiert, wenn ich den Erwartungswert dieser Observable auf beiden Basis messe Ö . Dh ich möchte verstehen unter welchen Bedingungen

⟨ Ö ⟩ = ⟨ ψ 0 | Ö | ψ 0 ⟩ = ⟨ ψ | Ö | ψ ⟩ = ⟨ Ö ' ⟩ .
Außerdem interessiere ich mich für das Verständnis von if, wenn ein zweiter unitärer Operator gegeben ist H , Gleichheit der Erwartungswerte ⟨ Ö ⟩ = ⟨ Ö ' ⟩ bedeutet das auch
⟨ H Ö ⟩ = ⟨ H Ö ' ⟩ .

Ihr einheitlicher Operator ist Ö = exp ⁡ ( ich M ) für M hermitesch, also M = U N U − 1 für N Diagonale. So Ö = U Ö ' U − 1 . Sie können nun die jeweiligen Matrixelemente vergleichen. Was schlussfolgern Sie?
Nun, wie auch in der folgenden Antwort besprochen, komme ich zu dem Schluss, dass die Diagonalisierung der Transformation des ursprünglichen Zustands entspricht | ψ ⟩ → U − 1 | ψ ⟩ . Also, wie er sagt, es ist ein Basiswechsel. Naiverweise ist dies gleichbedeutend mit einer (wie immer nicht beobachtbaren) Eichtransformation. Meine Fragen laufen im Wesentlichen darauf hinaus, ob es irgendwelche Ceveats dazu gibt.
Aber Sie verstehen, dass diese Basisänderung nicht in dem von Ihnen geschriebenen Erwartungswert enthalten ist, ein bloßes Matrixelement, richtig?
Sicher. Völlig verstanden.

Antworten (1)

Das Diagonalisieren eines Operators bedeutet einfach, die verwendete Basis im Hilbert-Raum zu ändern. Im Wesentlichen ist die Idee, dass statt zum Beispiel die Zustände als zu schreiben

| ψ ⟩ = A | + ⟩ + B | − ⟩ ,
du würdest schreiben
| ψ ⟩ = a | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ ,
so dass der Ausdruck der Aktion von Ö wäre einfacher. Sie könnten nämlich z.
Ö | ψ ⟩ = a Ö | 0 ⟩ + β Ö | 1 ⟩ = β | 1 ⟩ ,
wo ich vermutet habe Ö | 0 ⟩ = 0 Und Ö | 1 ⟩ = | 1 ⟩ nur mal so als beispiel.

Kurz gesagt, der Betreiber ändert sich nicht. Seine Matrixelemente (die Zahlen ⟨ N | Ö | M ⟩ , Wo { | N ⟩ } ist die gewählte Basis) ändern, aber Ö selbst ist ein abstrakter Operator, der nicht von der Basis abhängt.

Danke. Was ich im Wesentlichen frage, ist, ob es diesbezüglich irgendwelche Vorbehalte gibt. Sie sagen etwas sehr Grundsätzliches, der Erwartungswert der Observable hängt nicht davon ab, auf welcher Basis Sie sie messen. Ich frage mich, gibt es mögliche Ausnahmen? Zum Beispiel diskutieren einige Leute manchmal über eine Lockerung der Einheitlichkeit.
@Marion Es gibt keine Ausnahmen, der Erwartungswert ist basisunabhängig. Eine Möglichkeit, dies zu bemerken, besteht darin, dass die Aktion eines Operators auf einen Zustand etwas abstrakt definiert ist, ohne dass eine Wahl der Basis erwähnt wird (Sie haben geschrieben | ψ ⟩ = Ö | ψ 0 ⟩ , ohne jemals eine Basis zu wählen), ebenso wie das innere Produkt. Eine Änderung der Basis ändert nie den Operator, sondern nur seine Matrixelemente, sodass die Erwartungswerte alle dieselben bleiben.
Vielen Dank. Das war hilfreich.
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