Symmetrietransformationen an einem Quantensystem; Definitionen

Wir definieren eine Symmetrietransformation eines Systems als jede Transformation, die, wenn sie durchgeführt wird, das Ergebnis einer Messung nicht verändert. Der Symmetriesatz von Wigner besagt, dass jede Symmetrie eines Quantensystems durch einen linearen und einheitlichen Operator dargestellt wird, der auf den Hilbert-Raum physikalischer Zustände einwirkt H . Also für jede Symmetrie E es entspricht einer einheitlichen Transformation U ( E ) Einwirken auf H .

Vermuten A ^ ist der hermitische Operator, der einer Observablen entspricht A was Eigenwert hat λ ∈ R mit Eigenvektor | Φ ⟩ . Dann, wenn das System in einem Zustand ist | Ψ ⟩ , die Wahrscheinlichkeit, den Wert zu messen λ des Beobachtbaren A ist durch die Born-Regel gegeben;

Prob ( λ , A ^ , Ψ ) = | ⟨ Φ | Ψ ⟩ | 2 ⟨ Ψ | Ψ ⟩ ⟨ Φ | Φ ⟩   .
Wir definieren eine Symmetrie eines Quantensystems als eines, das die obigen Wahrscheinlichkeiten bewahrt. Jedoch jeder einheitliche Operator U ~ Einwirken auf H wird diese Wahrscheinlichkeiten bewahren;
Prob ( λ , A ' ^ , Ψ ' ) = | ⟨ U ~ Φ | U ~ Ψ ⟩ | 2 ⟨ U ~ Ψ | U ~ Ψ ⟩ ⟨ U ~ Φ | U ~ Φ ⟩ = | ⟨ Φ | U ~ † U ~ Ψ ⟩ | 2 ⟨ Ψ | U ~ † U ~ Ψ ⟩ ⟨ Φ | U ~ † U ~ Φ ⟩ = Prob ( λ , A ^ , Ψ ) .
Dies würde implizieren, dass jede einheitliche Transformation weiter wirkt H entspricht einer Symmetrietransformation des Systems. Ich bezweifle, dass das stimmt, also wo bin ich in meinen Definitionen falsch gelaufen und wie kann ich das korrigieren?

Antworten (1)

In der Quantentheorie gibt es viele Definitionen von Symmetrie. Ihre Idee ist jedoch nicht korrekt: Symmetrien, die auf Zustände einwirken, ändern die Ergebnisse von Messungen , zumindest für eine Observable. Ansonsten sprechen wir nicht von einer Symmetrie , sondern von einer Eichtransformation .

In der Formulierung des Hilbert-Raums , und ich werde hier bei diesem Fall bleiben, und in Ermangelung von Superselektionsregeln ist eine Symmetrie eine bijektive Operation, die eine gewisse Struktur des Raums der Zustände oder des Raums der Observablen bewahrt. Soweit ich weiß, gibt es vier Begriffe, und sie sind die unten aufgeführten.

  1. Wigner-Symmetrie : eine bijektive Abbildung vom Strahlenraum (Einheitsvektoren bis hin zu Phasen) zum Strahlenraum, die die Wahrscheinlichkeitsübergänge bewahrt .
  2. Kadison-Symmetrie : eine bijektive Abbildung aus dem Zustandsraum (positive Spurklassenoperatoren mit Einheitsspur), die die konvexen Linearkombinationen der Zustände bewahrt, dh sie bewahrt die Gewichte der Mischungen reiner Zustände.
  3. Kadison-Symmetrie in dualer Formulierung : eine bijektive Abbildung aus dem Gitter elementarer Observablen (orthogonale Projektoren im Hilbert-Raum) in sich selbst, wobei das Orthokomplement erhalten bleibt σ -komplette Gitterstruktur. Dh es bewahrt die logische Struktur der Quantentheorie.
  4. Segal-Symmetrie : eine bijektive Abbildung aus der Menge beschränkter, überall definierter selbstadjungierter Operatoren in die gleiche Menge, die die Struktur der Jordan-Algebra dieser Menge bewahrt, dh sie bewahrt die Struktur der Menge der Observablen.

Jede dieser Definitionen kann physikalisch motiviert sein. Alle Definitionen führen auf denselben Charakterisierungssatz (für 3 und 4 muss der Hilbertraum mit der Dimension trennbar sein ≠ 2 um den Satz von Gleason auszunutzen).

Satz [Wigner-Kadison-Segal] . Eine Symmetrie vom Typ 1-4 wird durch eine unitäre oder antiunitäre beschrieben (abhängig von der Symmetrie, ob der Hilbert-Raum eine Dimension hat > 1 andernfalls sind beide Möglichkeiten erlaubt). Jeder unitäre oder anti-unitäre Operator definiert gleichzeitig eine Symmetrie vom Typ 1-4.

Eine grundlegende Symmetrie in Abhängigkeit von der Zeit und kontinuierlich in Bezug auf die natürliche Topologie (je nach Typ 1-4), ist die zeitliche Evolution .

Eine Symmetrie vom Typ 1-4 (ebenfalls zeitabhängig) wird als dynamische Symmetrie bezeichnet , wenn sie mit der zeitlichen Entwicklung pendelt.

(An diesem Punkt ergibt sich, wie mehr oder weniger jeder weiß, ein Theorem ähnlich dem von Noether als Folge des Theorems von Stone, vorausgesetzt, wie ich annahm, dass der Hilbert-Raum komplex ist).

Wenn Superselektionsregeln ins Spiel kommen (nämlich das Zentrum der von Neumann-Algebra der Observablen ist nicht trivial), wird das Bild heikler und zum Beispiel hört Wigners Begriff auf, ein guter Begriff zu sein, weil derselbe Begriff der Übergangswahrscheinlichkeit wird mehrdeutig (reine Zustände und Strahlen sind nicht eins zu eins). Das gleiche Problem tritt auf, wenn die von Neumann-Algebra der Observablen einen nicht-abelschen Kommutanten zulässt, wie in der Chromodynamik (selbst wenn das Zentrum trivial ist).

Siehe Kapitel 7 in „Fundamental Mathematical Structures of Quantum Theory“ von Valter Moretti (Springer, 2019) und eine Referenz darin: B. Simon, Quantum Dynamics: From Automorphism to Hamiltonian. Studies in Mathematical Physics, Essays in Honour of Valentine Bargmann, hrsg. von EH Lieb, B. Simon, AS Wightman (Princeton University Press, Princeton, 1976), S. 327–349
Dies ist eine interessante Antwort. Können Sie ein Beispiel für eine Messung geben, die sich nach einer Symmetrietransformation ändert?
Auf einen reinen Zustand wirken sie mit einer Translation entlang der z-Achse aus A . Das ist eine Symmetrie. Alle autcomes von Messungen von Z Auf den neuen Stand werden die Ergebnisse der alten Zustände übersetzt A .
Symmetrietransformationen an einem Quantensystem; Definitionen
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