Grundzustand lokaler Eltern-Hamiltonianer und Invarianz unter lokalen Unitären

Question

Grundzustand lokaler Eltern-Hamiltonianer und Invarianz unter lokalen Unitären

Physik
Einheitlichkeit
hamiltonisch
Quantenmechanik
Quanteninformation

Ludwig

Nehmen Sie an, dass ein endlichdimensionaler reiner Zustand vorliegt $|\psi\rangle\in \mathcal{H}\simeq \mathbb{C}^m$ , $m<\infty$ , ist der (eindeutige) frustrationsfreie Grundzustand eines lokalen Eltern-Hamiltonoperators und nehmen wir an, dass der Lokalitätsbegriff durch eine zusammenhängende Menge von Nachbarschaften gegeben ist $\{\mathcal{N}_k\}$ . Meine Frage ist die folgende: Stimmt es, dass alle einheitlichen $U$ befriedigend

U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†} = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$U|\psi\rangle\langle \psi|U^\dagger=|\psi\rangle\langle \psi|$ kann in ein endliches Produkt von invarianzerfüllenden Einheiten zerlegt werden, die nur auf die Nachbarschaften wirken

{N_{k}}

$\{\mathcal{N}_k\}$ , das ist

U

$U$ kann geschrieben werden als

U = \prod_{i = 1}^{N} U_{N_{k_{i}}}

$U=\prod_{i=1}^N U_{\mathcal{N}_{k_i}}$ , wo jeder

U_{N_{k_{i}}}

$U_{\mathcal{N}_{k_i}}$ wirkt nur auf die Nachbarschaft

N_{k_{i}}

$\mathcal{N}_{k_i}$ und so ist es

U_{N_{k_{i}}} | ψ ⟩ ⟨ ψ | U_{N_{k_{i}}}^{†} = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$U_{\mathcal{N}_{k_i}}|\psi\rangle\langle \psi|U_{\mathcal{N}_{k_i}}^\dagger=|\psi\rangle\langle \psi|$ ?

Jede (Teil-)Antwort/Kommentar/Referenz ist sehr willkommen.

Vielen Dank im Voraus.

David z

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Antworten (3)

Grundzustand lokaler Eltern-Hamiltonianer und Invarianz unter lokalen Unitären

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Ruben Verresen · Answer 1

Ist die einfache Übersetzungssymmetrie nicht ein Beispiel?

Angenommen, Sie haben einen eindimensionalen Ring von $L$ Spins beschrieben durch $|\psi\rangle = \sum_{\{\sigma_i\}} \psi_{\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_L} \; |\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N\rangle$ . Dann könnte diese Wellenfunktion unter der unitären Transformation invariant sein $\psi_{\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_{L-1},\sigma_L} \to \psi_{\sigma_2,\sigma_3,\cdots,\sigma_L,\sigma_1}$ . Sie können dies jedoch eindeutig nicht lokal tun, es sei denn, ich verstehe Ihre Charakterisierung falsch.

Ein noch viszeraleres Gegenbeispiel wäre die (räumliche) Inversionssymmetrie .

Joel Klassen · Answer 2

Betrachten Sie den Hamilton-Operator mit torischem Code, der auf einer sphärischen Geometrie liegt. Dieses hat einen einzigartigen Grundzustand. Erweitern Sie die Kugel auf einen unendlichen Radius. Stellen Sie sich eine Saitenanregung des Grundzustands vor und schleifen Sie die Saite um die Kugel (eine unendliche Anzahl lokaler Operationen), so dass sie sich selbst trifft und unser System in seinen Grundzustand zurückversetzt. Wir wissen in Analogie zu den topologisch geschützten Grundzuständen des torischen Codes auf einer unendlichen toroidalen Geometrie, dass eine solche Evolution mit endlich vielen lokalen Operationen nicht möglich ist. Damit haben wir eine einheitliche Evolution des Systems beschrieben, mit dem Grundzustand als Eigenzustand, der nicht als endliche Zerlegung lokaler Operationen ausgedrückt werden kann.

Davon abgesehen betrüge ich möglicherweise nur, wie ich die thermodynamische Grenze nehme, und Sie müssen solche Überlegungen möglicherweise in Ihrer Frage klären.

Das ist richtig. Ich habe jedoch vergessen, im OP zu schreiben, dass ich an einem endlichdimensionalen Hilbert-Raum arbeite (mein Fehler, sorry!). Ich habe das OP entsprechend bearbeitet.
Keine Sorge, es war trotzdem hilfreich für mich, diese Antwort zu formulieren.
Das ist kompletter Betrug. Wenn Sie eine Operation auf einem unendlichen System in ein Produkt auf lokalen Operationen zerlegen wollen, ist es klar, dass Sie nach einer unendlichen Anzahl davon fragen müssen. Das hat nichts mit dem torischen Code zu tun, das gleiche gilt für einen Produktzustand.
Du hast recht Norbert. Irgendwie dachte ich, ich wäre auf dem richtigen Weg, aber ich hätte sorgfältiger darüber nachdenken sollen.

udrv · Answer 3

udrv

Hier ist eine Idee:

Sagen $U|\psi\rangle = |\psi\rangle$ für $UU^\dagger = U^\dagger U = I$ .

Dann betrachten wir die Exponentialform $U = \exp(iG)$ mit $G = G^\dagger$ wie gewöhnlich, $|\psi\rangle$ muss unbedingt im Kernel von sein $G$ , $G|\psi\rangle = 0$ .

Andererseits haben $U$ der Produktform $U = \prod_k{U_{{\mathcal N}_k} }$ für gegenseitig disjunkte Nachbarschaften ist äquivalent zu $G = \sum_k{G_{{\mathcal N}_k}}$ mit $[G_{{\mathcal N}_j}, G_{{\mathcal N}_k}] = 0$ für alle ${\mathcal N}_j$ , ${\mathcal N}_k$ beteiligt.

Aber offensichtlich nicht alle $G$ die haben $|\psi\rangle$ in ihrem Kern sind von dieser zersetzbaren Form. Also nicht alle $U$ so dass $U|\psi\rangle = |\psi\rangle$ kann vom Produkttyp sein $U = \prod_k{U_{{\mathcal N}_k} }$ .

XXTT

@Jacquard Ich denke, Ihre Frage hängt mit dem Problem der geometrischen Struktur von Quantenzuständen zusammen. Für eine allgemeine Dichtematrix

ρ = U_{0} σ U_{0}^{+}

$\rho=U_{0}\sigma U_{0}^{+}$ , lässt sich leicht nachweisen, dass die

U

$U$ hält

ρ

$\rho$ Invariante ist gegeben durch

U_{0} g U_{0}^{+}

$U_{0}gU_{0}^{+}$ , mit

g σ = σ g

$g\sigma=\sigma g$ . Dies ist der von Montgomery in "Heisenberg and Isoholonomic Inequalities" und einer ähnlichen Arbeit später in "DYNAMIC DISTANCE MEASURES ON SPACES OF ISOSPECTRAL MIXED QUANTUM STATES" vorgeschlagenen Generalized Hopf Fibration of Mixed State sehr ähnlich.

XXTT

Es gibt also keine Garantie, dass die

U

$U$ etwas 'Lokales' ist, es hängt wirklich von der Dichtematrix des Systems ab

ρ

$\rho$ . Für Ihre Frage, die nur reine Zustände betrifft,

g

$g$ kann in ein Produkt zerlegt werden als

g = U (1) \otimes U (N - 1)

$g=U(1)\otimes U(N-1)$ , aber in Erwägung ziehen

U = U_{0} g U_{0}^{+}

$U=U_{0}gU_{0}^{+}$ , es ist immer noch nicht "lokal".

XXTT

Entschuldigung, das hatte ich vergessen zu erwähnen

g

$g$ sollte einheitlich sein.

Ludwig

Danke für die Antwort. Ziehen Sie disjunkte Nachbarschaftstopologien in Betracht? Wenn nicht, warum zersetzt ihr euch?

U

$U$ als Produkt lokaler Unitarier, die auf disjunkte Nachbarschaften einwirken?

XXTT

Nein. Da haben wir

U = U_{0} g U_{0}^{+}

$U=U_{0}gU_{0}^{+}$ was den Systemzustand invariant halten kann, aber nicht

g

$g$ , also eben

g

$g$ kann als Produkt disjunkter Operationen in eine Form zerlegt werden,

U

$U$ ist kein Produkt lokaler Betreiber.

Ludwig

@X.Dong: Mein Kommentar bezog sich auf die Antwort von udrv. Wie auch immer, Ihre Kommentare betreffen allgemeine Dichtematrizen, in meinem Fall habe ich die Einschränkung, dass dies Grundzustände von Eltern-Hamiltonianern mit einer vorgeschriebenen Nachbarschaftstopologie sind.

XXTT

@Jacquard Wie ich bereits erwähnt habe, ist der reine Zustandsfall hier nur ein Sonderfall, wo

U = U_{0} (U (1) \otimes U (N - 1)) U_{0}^{+}

$U=U_{0}(U(1)\otimes U(N-1))U_{0}^{+}$ . Also immer noch für reine Zustände können Sie Ihr Ziel der Zerlegung nicht erreichen

U

$U$ als Produkt lokaler Betreiber.

Ludwig

@X.Dong: Okay, wenn ich es richtig verstanden habe,

U_{0}

$U_0$ kann die Lokalität der Zersetzung zerstören. Aber wenn der reine Zustand

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ der Grundzustand eines Eltern-Hamiltonoperators ist, beschränken wir die Menge der reinen Zustände, die wir betrachten. Wie können wir uns dessen sicher sein

U_{0}

$U_0$ weist in diesem Fall nicht eine besondere Struktur auf, die die Lokalität bewahrt?

XXTT

Es hängt wirklich davon ab, wie Sie den Radius von „Nachbarschaft“ definieren. Wie sogar gesehen

U_{0}

$U_{0}$ ist besonders,

g = U (1) \otimes U (N - 1)

$g=U(1)\otimes U(N-1)$ kann die Anforderung erfüllen und

U_{0}

$U_{0}$ Es ist etwas Besonderes, die Produktstruktur beizubehalten, können wir das sagen

U (N - 1)

$U(N-1)$ ist „lokal“? Auf jeden Fall kommt es darauf an

ρ

$\rho$ , daher gibt es keine allgemeine Schlussfolgerung, und wir müssen für jeden Unterschied eine spezifische Antwort geben

ρ

$\rho$ (oder

U_{0}

$U_{0}$ ).

Ludwig

@X.Dong: Ja, ich stimme dir darin zu, dass das Problem stark vom Staat abhängt

ρ

$\rho$ und auf die Nachbarschaftsstruktur. Deshalb suche ich nach einem Gegenbeispiel.

XXTT

Als Gegenbeispiele denke ich, 2 Qubit Bell-Zustand

00 + 11

$00+11$ mit

σ = D i a g (1, 0, 0, 0)

$\sigma=Diag(1,0,0,0)$ Und

U_{0} = [1, 0, 0, 1; 1, 0, 0, - 1; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0]

$U_{0}=[1,0,0,1; 1,0,0,-1; 0, 1, 0, 0;0,0,1,0]$ . Dann sehen wir

U = U_{0} * (U (1) \otimes U (3)) * U_{0}^{+}

$U=U_{0}*(U(1)\otimes U(3))*U_{0}^{+}$ kann nicht als Produkt lokaler Unitarier geschrieben werden.

udrv

@X.Dong Hi, lange nicht gesehen? Sie haben jedoch Recht, Gegenbeispiele sind einfach zu konstruieren, sobald die allgemeine Idee vorhanden ist.

udrv

@Jacquard Ich habe mich zerlegt

U

$U$ weil ich versucht habe, deine Frage zu beantworten: kann alles

U

$U$ so dass

U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$U|\psi\rangle\langle \psi|U = |\psi\rangle\langle \psi|$ zerlegt werden als

U = \prod_{k} U_{N_{k}}

$U = \prod_k{U_{{\mathcal N}_k} }$ Wenn

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ ist auf einer Menge verbundener Nachbarschaften definiert

N_{k}

${\mathcal N}_k$ ? Die Aussage zu

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ Im Kernel des Generators zu sein, ist ziemlich allgemein, aber dann müssen wir den speziellen Fall berücksichtigen, an dem Sie interessiert sind. Übrigens, ich habe vergessen, den Übergang von hinzuzufügen

U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$U|\psi\rangle\langle \psi|U = |\psi\rangle\langle \psi|$ Zu

U | ψ ⟩ = | ψ ⟩

$U|\psi\rangle = |\psi\rangle$ . Soll ich es trotzdem hinzufügen?

Ludwig

@X.Dong: Ich suche ein Gegenbeispiel bezüglich einer zusammenhängenden Nachbarschaftsstruktur. Es ist leicht, Gegenbeispiele zu finden, wenn die Nachbarschaften nicht verbunden sind.

Ludwig

@udrv: Ich denke, dass die Idee, die Tatsache auszunutzen, dass ein Zustand unveränderlich ist, wenn er sich im Kernel des Generators befindet, tatsächlich hilfreich sein kann. (Der Übergang von Dichtematrizen zu Vektoren ist ziemlich einfach.)

udrv

OK. Warum dann nicht zusätzlich zu dem, was X.Dong vorgeschlagen hat, eine Basis aufbauen, indem Sie die "lokale" Struktur ausnutzen (ich nehme an, Sie würden sich ein Produkt von "Nachbarschaftsbasen" ansehen), und dann ein Gegenbeispiel erstellen

G

$G$ in Bezug auf Eigenzustände orthogonal zu

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ . Es genügt, einen Eigenzustand zu wählen, der macht

G

$G$ nicht additiv auf die Nachbarschaften.

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David z

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