Intuition hinter Hamiltonian

Ich lese dieses Papier von Das et al. der den Deutsch-Algorithmus in einen adiabatischen Quantenalgorithmus umwandelt. Ich verstehe nicht die Intuition hinter den anfänglichen und letzten Hamiltonianern.

Wenn definiert den Anfangszustandsvektor wie folgt:

| Ψ 0 ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ )

und der endgültige Zustandsvektor als:

| Ψ 1 ⟩ = a | 0 ⟩ + β | 1 ⟩

Wo,

a = 1 2 | ( − 1 ) F ( 0 ) + ( − 1 ) F ( 1 ) | β = 1 2 | ( − 1 ) F ( 0 ) − ( − 1 ) F ( 1 ) | a + β = 1 a 2 = a β 2 = β a β = 0

Die Definitionen von Vektoren machen für mich Sinn. Der erste ist nur ein einfach zu machender Zustand und der letzte kodiert die Bedingung für das Ergebnis des Algorithmus.

Hier ist der verwirrende Teil, dh die Definitionen der Hamiltonianer:

H 0 = ICH − | Ψ 0 ⟩ ⟨ Ψ 0 | H 1 = ICH − | Ψ 1 ⟩ ⟨ Ψ 1 |

Warum subtrahiert der Autor das Produkt der Vektoren von der Identitätsmatrix, um den Hamilton-Operator zu erstellen? Welche physikalische Bedeutung hat diese Subtraktion? Warum aus Identitätsmatrix?

Antworten (1)

Beachten Sie, dass das System im niedrigsten Eigenzustand des Hamilton-Operators bleiben soll. Beide Hamiltonoperatoren sind zweidimensional und ihre Eigenzustände spannen einen zweidimensionalen Hilbert-Raum auf. Die Hamiltonianer enthalten einen Projektor dazu | Ψ 0 ⟩ ( | Ψ 1 ⟩ ). Definieren | Ψ 0 Ö ⟩ ( | Ψ 1 Ö ⟩ ) als normalisiert und orthogonal zu | Ψ 0 ⟩ ( | Ψ 1 ⟩ ). Die Identität kann dann geschrieben werden als

ICH = | Ψ 0 Ö ⟩ ⟨ Ψ 0 Ö | + | Ψ 0 ⟩ ⟨ Ψ 0 | = | Ψ 1 Ö ⟩ ⟨ Ψ 1 Ö | + | Ψ 1 ⟩ ⟨ Ψ 1 |
. Fügen Sie das in die Definition des Hamilton-Operators ein und Sie werden es sehen | Ψ 0 ⟩ ( | Ψ 1 ⟩ ) sind Eigenzustände des ersten (letzten) Hamilton-Operators mit Eigenwert 0, und ihre orthogonalen Vektoren sind Eigenzustände mit Eigenwert 1. Sie haben es geschafft, die Zustände, die sie wollten, zu den niedrigsten Eigenzuständen ihrer Hamilton-Operatoren zu machen.

Mit anderen Worten, die Hamiltonianer sind nur Projektoren zu Zuständen, die orthogonal zu denen sind, die wir als Eigenzustände mit der niedrigsten Energie haben wollen, wodurch die orthogonalen Zustände den Eigenwert 1 und die Eigenzustände mit der niedrigsten Energie den Eigenwert 0 haben.

Danke für die ausführliche Antwort. Die Standardmethode zum Erstellen eines Hamilton-Operators H , die einen Zustand hat, | Ψ ⟩ , da der niedrigste Eigenzustand wie folgt lautet:
H = ICH − | Ψ ⟩ ⟨ Ψ |
. Habe ich recht?
Ich weiß nicht, was der "Standard" -Weg ist, aber in 2D ist es ein ziemlich einfacher Weg. In höheren Dimensionen haben alle anderen Zustände den Eigenwert 1 und der Hamiltonoperator ist entartet. Ob dies ein Problem ist oder nicht, hängt davon ab, was Sie tun möchten.
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