Grundzustand eines adiabatischen Hamiltonoperators als Eigenzustand des Gesamtspins

Der gegebene Ansatz beinhaltet zwei Annahmen.

(1) Die ungefähren Grundzustände werden auf einem Unterraum des Hilbert-Raums gesucht, der aus gedrehten Versionen eines einzelnen konstanten Vektors besteht. (Dieser Unterraum ist a$2$-Sphäre parametrisiert durch einen Einheitsvektor in$\mathbb{R}^3$

(2) Der Wert der Spinprojektion in Richtung des Einheitsvektors ist die Hälfte der Anzahl der Spins.

Die Erklärung ist wie folgt:

Ein System von$n$unterscheidbare Spins lebt auf einem Hilbert-Dimensionsraum$2^n$. Die Observablen bilden den Satz von Hermitian$2^n \times 2^n$Matrizen, die erzeugen$U(2^n)$. Die Menge der Observablen hat jedoch eine andere Darstellung als die universelle Hüllalgebra von$SU(2)$, die in der Multipolbasis Folgendes umfasst: Die gesamten Spingeneratoren:

$$S_x = \sum_{i=1}^n \sigma_x^{(i)}$$ $$S_- = \sum_{i=1}^n \sigma_-^{(i)}$$ $$S_+ = \sum_{i=1}^n \sigma_+^{(i)}$$ . Die 5 Quadrupoloperatoren ( $Q_0, Q_{\pm1}, Q_{\pm2})$, Zum Beispiel $$Q_0 = \frac{1}{2}(2S_z^2-S_-S_+)$$ usw. Wenn die Anzahl der Spins sehr groß wird, werden die Korrelationen durch Potenzen skaliert $\frac{1}{n}$in Bezug auf die Durchschnittswerte und das System wird sich eher klassisch verhalten. Bitte lesen Sie die folgende Rezension von Yaffe für weitere Details.

Der klassische Grenzwert des Spinsystems ist jedoch nicht eindeutig. Es ist eine koadjungierte Umlaufbahn der dynamischen Gruppe, die durch den minimalen Satz von Operatoren erzeugt wird, der benötigt wird, um zwischen den Systemzuständen zu unterscheiden. Wenn beispielsweise das Spektrum des Systems in eine Darstellung von passt$SU(2)$, dann ist in der klassischen Grenze der Phasenraum eine koadjungierte Umlaufbahn von$SU(2)$das ist die zwei Sphäre$S^2$. Dies ist das in der Frage angegebene Beispiel, wo der aktive Unterraum ist, in dem das Minimum des Hamilton-Operators gesucht wird$S^2$und die entsprechenden Zustände sind gedrehte Versionen eines Vektors. Die Quantendynamik wird identisch mit der klassischen Dynamik sein$S^2$. In diesem Fall sind die einzigen "aktiven" Operatoren die Gesamtdrehungen. Die Werte einer kommutierenden Menge dieser Operatoren sind die mittleren Felder. Alle höheren Multipole sind nur klassische Funktionen der mittleren Felder.

Wenn andererseits die Quadrupoloperatoren aktiv sind, wird die dynamische Gruppe in diesem Fall$SU(3)$mit$3+5=8$Generatoren und der klassische Phasenraum werden eine koadjungierte Umlaufbahn sein$SU(3)$was an sich nicht eindeutig ist und der komplexe projektive Raum sein kann$\mathbb{C}P^2$oder der Fahnenkrümmer$Fl_3$. In diesen Fällen sind die Quadrupolgeneratoren im Allgemeinen unabhängig von den Gesamtspins und erhalten im Allgemeinen zusätzlich zu den klassischen Beiträgen Quantenkorrekturen.

Im Allgemeinen wird die niedrige Energiegrenze kleinere koadjungierte Umlaufbahnen bevorzugen, da der Hamiltonoperator dann weniger Quantenkorrektionen enthalten wird. Außerdem betrachteten die Autoren einen Fall, in dem der Hamilton-Operator in den Gesamtspingeneratoren linear ist, was die höheren koadjungierten Umlaufbahnen ausschließt.

Der zweite Teil des Ansatzes basiert lediglich auf dem zentralen Grenzwertsatz. Wir können eine einzelne Spinkomponente in Richtung des Einheitsvektors der Kugel als klassische Zufallsvariable betrachten, weil sie die einzige kommutierende Variable ist (klassisches Bit). Diese Zufallsvariable hat einen Durchschnitt von$\frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$und Standardabweichung von$\frac{1}{\sqrt{2}}$. Der Durchschnitt von$n$Unabhängige Drehungen haben einen Durchschnitt von$\frac{1}{2}$und einer Standardabweichung von$\frac{1}{\sqrt{2n}}$. Daher sein Wert im Großen$n$Grenze wird auf festgelegt$\frac{1}{2}$. Also der Durchschnitt einer Summe von$n$Spins werden festgelegt auf:$\frac{n}{2}$.