Deutschs Algorithmus. Einheitliche Transformation UfUfU_f

Ich studiere Deutschs Algorithmus und stoße immer wieder auf den Satz in der Art von "Es gibt eine einheitliche Transformation (eine Folge von Quantengattern) U F das den Staat verändert | X ⟩ | j ⟩ → | X ⟩ | j ⊕ F ( X ) ⟩ ".

Ich habe versucht herauszufinden, wie das geht U F würde als eine Folge von Quantengattern implementiert werden.

Ich dachte ursprünglich, dass es eine Art Transformation geben würde, die dauert | X ⟩ → | F ( X ) ⟩ und wenden Sie dann die CNOT-Transformation an, um das Ergebnis zu erhalten. Ich glaube jedoch, dass diese Denkweise falsch ist und ich den gewünschten Zustand nicht erreichen würde.

Also, wie ist die Transformation U F realisiert oder hängt es von der Funktion ab F ?

Quantenschaltkreise müssen reversibel sein. Wenn Sie kartieren würden | X ⟩ → | F ( X ) ⟩ , dies ist möglicherweise nicht umkehrbar (z. B. für die konstante Funktion). Daher besteht die Möglichkeit, damit umzugehen, darin, eine Ancilla zu verwenden | j ⟩ in dem das Ergebnis gespeichert wird.

Antworten (1)

Dein U F muss abhängen F . Betrachten wir die beiden trivialen Beispiele:

  1. F ist die Nullfunktion. In diesem Fall, U F ist nur die Identität.

  2. F ist die Eins-Funktion ( X ↦ 1 ), Dann | X ⟩ | j ⟩ ↦ | X ⟩ | j ⊕ 1 ⟩ , Dann U F ist ein NOT-Gatter auf dem zweiten Qubit.

Nur eine Anmerkung: Die ganze Idee des Deutsch-Josza-Algorithmus ist, dass Sie sich keine Gedanken über die Implementierung machen müssen U F - es ist gegeben.

@ZachDean Beachten Sie, dass die Realisierung einer solchen Funktion in CH Bennett, IBM Journal of Research and Development 17 , 525 (1973) gezeigt wird . (Dies gilt für klassische Schaltkreise, aber jeder klassische umkehrbare Schaltkreis entspricht einem Einheitsschaltkreis.)
Mit dem Schaltplan für die transform U F Wir haben die beiden Eingänge X Und j und die beiden Ausgänge X Und j ⊕ F ( X ) . Können wir jedoch keinen verschränkten Zustand als Ausgabe erhalten, dh dass er nicht als Tensorprodukt der beiden Ausgaben geschrieben werden kann U F ? Zum Beispiel | X ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) Und | j ⟩ = | 0 ⟩ dann den kombinierten Eingangszustand zu U F Ist | ich N P u T ⟩ = 1 2 ( | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ) Dann wenn F ( 0 ) = 1 Und F ( 1 ) = 0 die Ausgabe wird sein | Ö u P T u T ⟩ = 1 2 ( | 01 ⟩ + | 10 ⟩ ) ?
@ZachDean Warum sollte Ihre Eingabe sein | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ? Es ist | 00 ⟩ + | 10 ⟩ . Die Ausgabe ist jedoch korrekt, und dies ist ein verstrickter Zustand. Könnten Sie Ihre Frage präzisieren?
Entschuldigung, ich sehe meinen Fehler. Allerdings war es möglich, eine Ausgabe als verschränkten Zustand zu erhalten U F dann fühle ich den schaltplan aus U F ist irreführend. Dies liegt daran, dass es zeigt, dass die Ausgabe ist | X ⟩ Und | j ⊕ ⟩ , mein Punkt ist, dass es möglicherweise nicht immer möglich ist, den kombinierten Zustand in diese beiden Ausgänge zu trennen? Bedeutet dies das U F erzeugt nie eine verschränkte Ausgabe?
@ZachDean Hast du oben nicht selbst ein Beispiel für eine Funktion gegeben, die eine verschränkte Ausgabe für eine klassische Funktion liefern kann? Beachten Sie, dass die Notation nur besagt, dass die Ausgabe für klassische Eingaben entwirrt ist. PS: Wenn Sie möchten, dass ich über Ihre Kommentare benachrichtigt werde, sollten Sie @NorbertSchuch in ihnen hinzufügen.`
@NorbertSchuh Ich bin nur etwas verwirrt, wie wir einen verschränkten Zustand erhalten können U F Wir können den Schaltplan mit zwei Ausgängen verwenden, die dann wie im Deutsch-Joza-Algorithmus mit anderen Gattern verknüpft werden könnten. Wenn wir einen verschränkten Zustand erhalten, können wir doch nicht jedes Qubit separat bearbeiten? Mein Verständnis der Transformation U F ist das, wenn wir den Eingangszustand als haben | X ⟩ = A | 0 ⟩ + B | 1 ⟩ Und | j ⟩ = C | 0 ⟩ + D | 1 ⟩ Dann wäre die Ausgabe A C | 0 , F ( 0 ) > + A D | 0 , 1 ⊕ F ( 0 ) > + B C | 1 , F ( 1 ) > + B D | 1 , 1 ⊕ F ( 1 ) >
@ZachDean Natürlich können wir die Qubits dann immer noch unabhängig bearbeiten, z. B. das zweite Qubit umdrehen oder einen Hadamard anwenden usw., nur der Zustand dieser Qubits wird immer noch durch einen verschränkten Zustand beschrieben. Schreiben Sie es einfach so auf, wie Sie es oben getan haben. PS: Wenn Sie meinen Namen falsch schreiben, werde ich immer noch nicht benachrichtigt. Das System sollte Ihnen eine automatische Vervollständigung anbieten.
@NorbertSchuch Richtig ok. Also, wenn wir sagen, hatte den verschränkten Zustand 1 2 ( | 00 ⟩ + | 11 ⟩ ) und sagen wir, wenden Sie ein Hadamard-Gatter nur auf das erste Qubit an, wie würde der Ausgangszustand aussehen? (ps danke für die hilfe)
@ZachDean SE fordert uns immer wieder auf, längere Diskussionen zu vermeiden ... also möchten Sie dies vielleicht als Frage posten. Suchen Sie jedoch zuerst (i) nach, ob dies zuvor gefragt wurde (ich würde es vermuten) und (ii) versuchen Sie zuerst, sich selbst herauszufinden (und erklären Sie, was Sie in Ihrer Frage versucht haben). Sie können sich auch einige frei verfügbare QI-Texte wie die Vorlesungsunterlagen von Preskill ansehen, diese Dinge werden dort erklärt. (Übrigens, die kurze Antwort auf Ihre Frage lautet ( | 00 ⟩ + | 01 ⟩ + | 10 ⟩ − | 11 ⟩ ) / 2 , falls das hilft.)
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