Zwecke der QEC-Stabilisatoren

Question

Zwecke der QEC-Stabilisatoren

camillo_benso

Ich gehe die Idee des Stabilisatorformalismus durch.

Definiert, was eine Pauli-Gruppe ist $P_n$ und seine Eigenschaften beschreiben wir einen Stabilisatorsatz $S$ als:

S \subset P_{N}

$S\subset P_n$

Der Stabilisatorsatz erstellt gültige Codewörter für einen Zustand der Gleichung

S | ψ ⟩ = | ψ ⟩, \forall S \in S (1)

$s\left|\psi\right\rangle=\left|\psi\right\rangle,\;\;\;\forall s \in S \;\;\;\;\; (1)$ ist befriedigt. Das bedeutet

| ψ ⟩

$\left|\psi\right\rangle$ ist ein +1 Eigenzustand von

s

$s$ .

Jedes gültige Codewort gehört dazu $V$ , das ist eine Reihe von Qubits, die durch stabilisiert werden $S$ . Daher, wenn $(1)$ ist dann zufrieden $\left|\psi\right\rangle \in V$ .

Betrachten wir den Steane-Code von 7 Qubits. Die folgenden sind die Stabilisatorcodes für eine solche Codierung:

K^{1} = ICH ICH ICH X X X X

$K^1 = IIIXXXX$

K^{2} = X ICH X ICH X ICH X

$K^2 = XIXIXIX$

K^{3} = ICH X X ICH ICH X X

$K^3 = IXXIIXX$

K^{4} = ICH ICH ICH Z Z Z Z

$K^4 = IIIZZZZ$

K^{5} = Z ICH Z ICH Z ICH Z

$K^5 = ZIZIZIZ$

K^{6} = ICH Z Z ICH ICH Z Z

$K^6 = IZZIIZZ$

Diese verringern die $2^7$ Hilbert-Raum in einen zweidimensionalen Unterraum. Diese Stabilisatoren generieren gültige Codewörter für den Steane-Code:

{| 0 ⟩}_{L} \equiv \frac{1}{\sqrt{8}} (| 0000000 ⟩ + | 1010101 ⟩ + | 0110011 ⟩ + | 1100110 ⟩ + | 0001111 ⟩ + | 1011010 ⟩ + | 0111100 ⟩ + | 1101001 ⟩)

$\left|0\right\rangle_L \equiv \frac{1}{\sqrt{8}}(\left|0000000\right\rangle + \left|1010101\right\rangle + \left|0110011\right\rangle + \left|1100110\right\rangle + \left|0001111\right\rangle + \left|1011010\right\rangle + \left|0111100\right\rangle + \left|1101001\right\rangle)$

{| 1 ⟩}_{L} \equiv \frac{1}{\sqrt{8}} (| 1111111 ⟩ + | 0101010 ⟩ + | 1001100 ⟩ + | 0011001 ⟩ + | 1110000 ⟩ + | 0100101 ⟩ + | 1000011 ⟩ + | 0010110 ⟩)

$\left|1\right\rangle_L \equiv \frac{1}{\sqrt{8}}(\left|1111111\right\rangle + \left|0101010\right\rangle + \left|1001100\right\rangle + \left|0011001\right\rangle + \left|1110000\right\rangle + \left|0100101\right\rangle + \left|1000011\right\rangle + \left|0010110\right\rangle)$

Hier kommen meine Zweifel; Jeder Stabilisator wird als "Filter der Eingabe" verwendet, wenn also eine Eingabe, auf die einer oder mehrere dieser Stabilisatoren angewendet werden, die Gleichung nicht erfüllt $(1)$ ( $\left|\psi\right\rangle$ -1 Eigenwert von $s$ ?), dann können wir sagen, dass ein Fehler aufgetreten ist. Durch die Syndrommessung können wir feststellen, wo der Fehler aufgetreten ist, und ihn beheben.

Ein weiteres Problem: Überprüfung $(1)$ bedeutet zum Beispiel $\;K^1 \left|1010101\right\rangle = \left|1011010\right\rangle$ . Da beide $\left|1010101\right\rangle$ Und $\;\left|1011010\right\rangle$ vertreten $\left|0\right\rangle_L$ , das sagen wir $(1)$ ist befriedigt?

Endlich: $\;K^4 \left|1010101\right\rangle = ?$

Danke schön.

Letztes Problem hinzugefügt:

Quantenschaltung zur Vorbereitung des [[7,1,3]] logischen |0⟩ Zustands

Der Zustand des Systems wird dargestellt durch:

{| ψ ⟩}_{F} = \frac{1}{2} ({| ψ ⟩}_{ICH} + U {| ψ ⟩}_{ICH}) | 0 ⟩ + \frac{1}{2} ({| ψ ⟩}_{ICH} - U {| ψ ⟩}_{ICH}) | 1 ⟩

$\left|\psi\right\rangle_F={1\over 2}(\left|\psi\right\rangle_I+U\left|\psi\right\rangle_I)\left|0\right\rangle + {1\over 2}(\left|\psi\right\rangle_I-U\left|\psi\right\rangle_I)\left|1\right\rangle$

Wir bewerben uns $K^1,K^2,K^3$ an die Eingabe und wir messen die Ancilla-Qubits, um die Integrität der Eingabe zu überprüfen (if $\left|\psi\right\rangle_I$ ist +1 Eigenzustand von $K^1,K^2,K^3$ ). Wenn die Gleichung $(1)$ nicht zufrieden ist, wird das beschädigte Qubit mit a korrigiert $Z$ Tor, das durch Syndrommessung von Ancilla-Qubits adressiert wird. So funktioniert das System?

Antworten (1)

Zwecke der QEC-Stabilisatoren

Trimok · Answer 1

1) Wenn ein Fehler vorliegt $E_j$ , die neuen Staaten $E_j|0\rangle_L$ Und $E_j|1\rangle_L$ sind Eigenvektoren mit Eigenwert $-1$ , aller Stabilisatoren $s_j$ Zugehörigkeit zu einer bestimmten Teilmenge $S_j$ von $S$ . (die Elemente von $S_j$ Antipendeln mit $E_j$ ).Diese Teilmenge $S_j$ identifiziert den Fehler eindeutig $E_j$ .

Zum Beispiel :

$K^1\left|0\right\rangle_L = (IIIXXXX) \\\frac{1}{\sqrt{8}}(\left|0000000\right\rangle + \left|1010101\right\rangle + \left|0110011\right\rangle + \left|1100110\right\rangle + \left|0001111\right\rangle + \left|1011010\right\rangle + \left|0111100\right\rangle + \left|1101001\right\rangle)= \\ \frac{1}{\sqrt{8}}(\left|0001111\right\rangle + \left|1011010\right\rangle + \left|0111100\right\rangle + \left|1101001\right\rangle + \left|0000000\right\rangle + \left|1010101\right\rangle + \left|0110011\right\rangle + \left|1100110\right\rangle)\\ =\left|0\right\rangle_L$

$K^4 \left|1010101\right\rangle = |1010101\rangle$

alles klar. Danke schön. Ich habe meine Frage mit einem Beispiel bearbeitet, vielleicht können Sie mir sagen, ob ich falsch liege oder nicht

Zwecke der QEC-Stabilisatoren

camillo_benso

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Trimok

camillo_benso

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