Eigenwerte des Dichteoperators unter Quantenkanal

Ich bezweifle, dass Sie in der Lage sein werden, nützliche Grenzen zu erhalten, ohne die Klasse der Kanäle einzuschränken.

Betrachten Sie den folgenden Quantenkanal (für beliebige Dimension$d,n$):

$$T:\mathbb{C}^{d\times d}\to \mathbb{C}^{n\times n}: \rho \mapsto \operatorname{tr}(\rho) \sigma$$

Wo$\sigma$ist irgendein Quantenzustand. Anhand des Choi-Jamiolkowski-Isomorphismus können Sie leicht erkennen, dass dies tatsächlich eine vollständig positive Abbildung ist und konstruktionsbedingt spurerhaltend ist.

Ganz klar, das Spektrum von$\sigma$ist völlig unabhängig vom Spektrum von$\rho$.

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Okay, also gibt es keine Möglichkeit, diese Ungleichungen für beliebige Kanäle zu haben. Du fragst jetzt:

Da denke ich über eine körperliche Evolution nach$\rho\to \rho^{\prime}$, ich glaube, dass die von-Neumann-Entropie nur zunehmen kann, dh$S(\rho)\to S(\rho^{\prime})$.

Das ist falsch. Das würde zum Beispiel bedeuten, dass man für eine Quantenrechnung niemals reine Nebenzustände präparieren könnte (und das zumindest mit sehr guter Genauigkeit). Es würde auch bedeuten, dass die meisten vollständig positiven, spurenerhaltenden Karten nicht physisch wären. Aber natürlich gibt es große Klassen von Prozessen in der Natur, bei denen die (lokale) Entropie nur zunehmen kann. Diese Kanäle sind in gewissem Sinne sehr "dissipativ".

Das bedeutet, dass wir, obwohl sie physikalisch nicht so allumfassend sind, wie Sie fragen, Quantenkanäle mit zunehmender Entropie betrachten.

Der Fall gleicher Eingangs- und Ausgangsdimensionen

Ich spreche von diesem Fall, weil ich die Antwort tatsächlich kenne und vielleicht helfen Ihnen meine Kommentare, das zu finden, was Sie brauchen.

Es stellt sich heraus, dass die Entropie eines Kanals genau dann zunimmt, wenn er einheitlich (und daher doppelt stochastisch) ist. Dass Einheitlichkeit für einen entropieerhöhenden Kanal notwendig ist, wird hier deutlich, weil der maximal gemischte Zustand maximale Entropie hat. Die andere Richtung folgt aus der Tatsache, dass die relative Entropie nur unter doppelt stochastischen Abbildungen abnimmt.

In diesem Fall hier eine Antwort auf Ihre Frage mit dem Fazit: Für einen einheitlichen Quantenkanal$T$, das absteigend geordnete Spektrum von$T(\rho)$wird durch das geordnete Spektrum von majorisiert$\rho$oder anders ausgedrückt

$$\sum_{i=1}^k \lambda_i^{\downarrow}(T(\rho))\leq \sum_{i=1}^k \lambda_i^{\downarrow}(\rho) \qquad \forall k=1,\ldots,n$$

Dies bringt Ihre Ungleichheit für diesen Fall mit sich, aber es scheint, dass Sie sich mehr für allgemeine Kanäle interessieren.

Bei größeren Ausgangsabmessungen

Im Gegensatz zum ersten Fall habe ich nie mit diesem Fall gearbeitet oder gesehen, dass er in Ihrem Kontext verwendet wird, daher wird dies nur ein schwacher Versuch einer Antwort sein.

Eine Einordnung ist nicht so einfach, weil ich glaube, dass ich immer einen Quantenkanal einbetten kann$T:\mathbb{C}^{2\times 2}\to \mathbb{C}^{2\times 2}$in einen größeren, wo ich nichts an den anderen beiden Dimensionen mache und dies immer noch ein (jetzt nicht einheitlicher) Entropie-erhöhender Kanal wäre. Obwohl unitale Karten immer noch entropieabnehmend sein sollten, ist das Gegenteil jetzt definitiv nicht der Fall.

Wenn wir jedoch annehmen, dass der Kanal nicht nur die Entropie erhöht, sondern wie oben einheitlich ist, denke ich, dass ich Ihnen einen Beweis für eine noch stärkere Aussage liefern kann - bitte überprüfen Sie auf Fehler, ich habe diese Manipulationen seit einiger Zeit nicht mehr durchgeführt:

Vorschlag: Let$T:\mathbb{C}^{2\times 2}\to \mathbb{C}^{4\times 4}$ein doppelt stochastischer Quantenkanal sein. Dann$\lambda_1(T(\rho))+\lambda_2(T(\rho))\leq \lambda_1(\rho)$[die Eigenwerte sind absteigend geordnet].

Der Beweis verwendet den Satz für Kanäle mit gleichen Ein- und Ausgangsabmessungen. Betrachten Sie alle$\rho$und bezeichnen die Eigenwerte von$T(\rho)$von$\lambda_1,\ldots,\lambda_4$. In der Basis, wo$T$diagonal ist, können wir zerlegen$\mathbb{C}^{4\times 4}=\mathbb{C}^{2\times 2}\otimes \mathbb{C}^{2\times 2}$Schreiben (in Qubit-Notation):

$$\sum_{i=1}^4 \lambda_i |i\rangle\langle i|=\lambda_1|0\rangle\langle 0|+\lambda_2|01\rangle\langle 01|+\lambda_3|10\rangle\langle 10|+\lambda_4|11\rangle\langle 11|$$

Bis jetzt ist nichts passiert (nur Basiswechsel). Jetzt, anstatt die Karte zu betrachten$T$, betrachten wir die Karte$\operatorname{tr}_2\circ T$, die Zusammensetzung der Karte und die Teilspur auf dem zweiten Subsystem. Da die Teilspur doppelt stochastisch und CP ist, ist diese Zusammensetzung auch doppelt stochastisch und CP und unser Majorisierungskriterium gilt.

Wir haben:

$$\operatorname{tr}_2(T(\rho))=(\lambda_1+\lambda_2)|0\rangle\langle 0|+(\lambda_3+\lambda_4)|1\rangle\langle 1|$$

und dann über das Majorisierungskriterium:$\lambda_1+\lambda_2\leq \lambda_1(\rho)$Wenn$\lambda_1(\rho)$ist der größte Eigenwert des Anfangszustands$\rho$.

Mit ähnlicher Argumentation sollte es möglich sein, zumindest für unitale Karten eine Reihe interessanter Ungleichungen für ähnliche Fragen zu erhalten. Ich habe keine Ahnung, wie ich bei nicht einheitlichen Karten vorgehen soll. Ebenso habe ich keine wirkliche Ahnung, ob diese Kriterien ausreichen (aber das hast du sowieso nicht gefragt).