Entropie-Ungleichheit

Angenommen, Sie haben zwei bipartite Systeme ρ 1 A B , ρ 2 A B dann möchte ich folgendes beweisen:

S ( 1 2 ( ρ 1 A B + ICH A ⊗ ρ 2 B ) ) + S ( 1 2 ( ρ 2 A B + ICH A ⊗ ρ 1 B ) ) ≥ S ( 1 2 ( ρ 1 A B + ICH A ⊗ ρ 1 B ) ) + S ( 1 2 ( ρ 2 A B + ICH A ⊗ ρ 2 B ) )

Wo S ist die von Neumann-Entropie, ρ 1 B = T R A ( ρ 1 A B ) , ρ 2 B = T R A ( ρ 2 A B ) Und ICH A liegt der maximal gemischte Zustand an A . Es sieht so aus, als sollte es mit einer gewissen Monotonie passieren, alle Hinweise oder Gegenbeispiele sind willkommen.

Bist du sicher, dass du meinst ρ 1 A = T R ( ρ 1 A B ) , usw.? Denn das ist nur eine Zahl... Eins. Wahrscheinlich wollten Sie die Teilspur übernehmen B ?

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(sehr) teilweise Antwort:

In einem ganz besonderen Fall ist dies der Fall.

Lass uns ρ 1 A B = ICH A ⊗ ρ 1 B Und ρ 2 A B = ICH A ⊗ ρ 2 B

Die linke Seite ist L = 2 S ( 1 2 ( ρ 1 A B + ρ 2 A B ) )

Die rechte Seite ist R = S ( ρ 1 A B ) + S ( ρ 2 A B )

Durch die Konkavität der Von-Neumann-Entropie haben wir L ≥ R

Nun, es wirft ein wenig Licht darauf, welche Argumente verwendet werden können. Ich überlege, wie man das verallgemeinern könnte...
In gewisser Weise ist dieser sehr spezielle Fall sehr "trivial". Zum Beispiel wäre ein nächster Schwierigkeitsschritt so etwas wie ρ 1 A B = ρ A ⊗ ρ 1 B , ρ 2 A B = ρ A ⊗ ρ 2 B , aber ich habe absolut keine Ahnung, es zu beweisen ...
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