Festes Bindungsmodell in Graphen

Ich folge einer Berechnung, die von einem Typen durchgeführt wurde, der es etwas anders gemacht hat als ich zuvor (verwendete Vektoren des nächsten Nachbarn und eine DFT anstelle von dem, was ich unten zeigen werde), ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich das umkehren soll Ausdruck, den er gibt.

Wir betrachten die Formulierung des engen Bindungsbildes für Graphen unter Verwendung der Konvention$\mathbf{r} = l \mathbf{a_1} + j \mathbf{a_2}$für die Position der Einheitszelle und die Zahl$s = 1,2$für das intrazelluläre Atom. Zustand 1 befindet sich an Position$\mathbf{r}$. Potenzial vor Ort ist$\epsilon_0$und Sprungpotential ist$t_0$wie gewöhnlich.

Der Hamiltonoperator dieses Bildes ist auf der Basis lokalisierter Orbitale geschrieben$\left| \mathbf{r} , s\right>$.

$$\begin{align} \hat{H} &= \sum_\mathbf{r} \biggl(\sum_{s=1,2} \left|\mathbf{r},s\right> \epsilon_0 \left<\mathbf{r},s\right|\biggr) \\ &\quad + \left|\mathbf{r},1\right> t_0 \bigl(\left<\mathbf{r},2\right| + \left<\mathbf{r} - \mathbf{a_1},2\right| + \left<\mathbf{r} - a_2 , 2\right|\bigr) \\ &\quad + \left|\mathbf{r},2\right> t_0 \bigl(\left<\mathbf{r},1\right| + \left<\mathbf{r} + \mathbf{a_1},1\right| + \left<\mathbf{r} + a_2 , 1\right|\bigr)\end{align}$$

Um dies etwas klarer zu machen, ohne ein Diagramm zu zeichnen, bezieht sich die obere Linie offensichtlich auf das Potential vor Ort und die zweite und dritte auf das nächste Nachbarhüpfen (dh Elektron an Atom 1 springt zu Atom 2 entweder in derselben Elementarzelle oder in der einen bei$r-a_1$oder$r-a_2$).

Hier beginnt es für mich verschwommen zu werden, der nächste Schritt ist, dass unter Verwendung von Blochs Theorem die Eigenvektoren für den Hamilton-Operator gegeben sind durch:

$$\left|\mathbf{k}, \alpha\right> = \frac{1}{\sqrt{N_C}} \sum_\mathbf{r} \sum^2_{s=1} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} A_s \left|\mathbf{r},s\right>$$

Wo$A_s$sind Koeffizienten,$N_C$normalisierender Faktor. Als ich in der Vergangenheit die TBM-Methode für Graphen durchgeführt habe, habe ich eine diskrete Fourier-Transformation verwendet, um einen Ausdruck für den Zustand im Impulsraum zu erhalten, ihn invertiert und wieder in den ursprünglichen Hamilton-Operator eingefügt, wodurch ein Ausdruck für den Hamilton-Operator in k- Raum. Ich würde vermuten, dass es sich in diesem Fall um eine ähnliche Technik handelt, und meine Hauptfrage wäre, wie der obige Ausdruck invertiert werden kann, wenn dies der Fall ist. Die Summe von s verwirrt mich, wenn ich das versuche!

Zusätzlich

1) Wie genau kommen wir mit dem Satz von Bloch darauf? Ich weiß, dass wir in der TBM nach Eigenfunktionen suchen, die eine Linearkombination von Orbitalen sind, und dass der Ausdruck dem ähnlich sieht. Ist der obige Ausdruck im reziproken Raum?

2) Die$\alpha$wird später verwendet, um sich auf die positiven oder negativen (Leitungs- oder Valenz-) Bänder zu beziehen. Ist es hier der Einfachheit halber und der Kontinuität für später enthalten, oder gibt es eine Möglichkeit, dies bereits aus der Hamilton- oder Elementarzelle abzuleiten? Es macht im Moment nichts im Ausdruck, aber wird es irgendwie verwendet, wenn wir es invertieren (vielleicht wie ein k-Raum-Äquivalent von s = 1 oder 2)?

3) Ich denke, das Ergebnis der Anwendung dieser Gleichung auf den Hamilton-Operator ist, dass Sie eine 2x2-Matrix des Hamilton-Operators im k-Raum erhalten, diese diagonalisieren und die Energieeigenwerte finden?

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen, ich habe den ganzen Tag online nach Sachen gesucht, aber jeder macht es anders, lässt Sachen weg und verwendet andere Notationen!