Sind elektronische Wellenfunktionen in Bandgap-Isolatoren lokalisiert? reicht in diesem Fall ein Ein-Teilchen-Bild?

Die tiefe Einsicht von Anderson ist, dass der Unterschied zwischen Isolatoren und Leitern nicht das Energiespektrum ist. Tatsächlich ist das gesamte Bild, das uns in den Einführungskursen vermittelt wird, höchst irreführend. [Anmerkung: Alles, worüber ich sprechen werde, wird sich auf Einzelpartikeleffekte beziehen, also keine Wechselwirkung.]

Erinnern wir uns zunächst an das Einführungsbild. Wir haben einen perfekten Kristall, also bekommen wir Energiebänder. Wir füllen diese Bänder mit Elektronen auf. Wenn eine Band teilweise besetzt ist, bekommen wir einen Dirigenten. Für den Fall, dass alle unsere Bänder komplett besetzt sind, also das Fermi-Niveau in der Lücke liegt, erhalten wir einen Isolator.

Nun zu den Problemen: Die endliche Leitfähigkeit hängt vollständig von Verunreinigungen ab. In Abwesenheit von Verunreinigungen bleibt der Impuls vollständig erhalten. Wenn ich den Trägern etwas Schwung gebe, werden sie ihn nie verlieren. Daher kann sich ein endlicher Strom niemals auflösen, was dasselbe ist, als würde man sagen, dass der Widerstand Null ist. Da bei jeder Temperatur ungleich Null immer einige Ladungsträger vorhanden sind, sind alle Materialien in Abwesenheit von Verunreinigungen "perfekte Leiter".

Es ist also klar, dass wir Verunreinigungen hinzufügen müssen, um einen Sinn zu ergeben. Wenn wir jedoch Verunreinigungen hinzufügen, verschwindet das schöne Energiebandbild. Da wir unserem Hamiltonian nur zufällige Dinge hinzugefügt haben, gibt es keinen Grund, warum wir nicht in der Lage sein sollten, einen Energiezustand zu finden, wenn wir genau genug hinsehen. Offensichtlich wird es mehr Staaten in den ehemaligen Bändern geben, aber es wird auch Staaten in der Lücke geben. Kurz gesagt, die Bänder werden miteinander verschwimmen.

Aber wenn die Bänder ineinander verschwimmen, dann ist von einer Lücke keine Rede mehr - was könnte also Isolatoren und Leiter trennen? Es ist nicht das elektronische Energiespektrum, es ist die elektronische Wellenfunktion selbst. Da keine Translationssymmetrie mehr besteht, sind diese nicht auf die Blochform beschränkt. Es gibt zwei Hauptmöglichkeiten:

1) Die Wellenfunktionen in der Nähe des Fermi-Niveaus sind ausgedehnt, dh ihr Betrag ist über das gesamte System annähernd konstant, wie bei einer ebenen Welle. Das ist ein Dirigent.

2) Die Wellenfunktionen in der Nähe des Fermi-Niveaus sind lokalisiert, dh ihre Größe nimmt ungefähr exponentiell ab, wenn Sie von einem bestimmten Punkt ausgehen. Das ist ein Isolator.

Das unterscheidet eigentlich Isolatoren und Leiter. Zurück zur Bandlückenklassifizierung von Materialien - warum funktioniert sie im Grunde? Der Grund dafür ist, dass wenn man einem perfekten Kristall Unordnung hinzufügt, die Zustände, die in der Lücke und in der Nähe der Bandkanten hinzugefügt werden, normalerweise lokalisierte Zustände sind, sodass das Nachdenken über die Lücken zur richtigen Antwort führt. Dies ist jedoch nicht der direkte physikalische Mechanismus.

Ich denke, Sie verstehen den "einfachen Fall" eines perfekten Kristalls ohne Elektron-Elektron- oder Elektron-Phonon-Wechselwirkungen nicht zu 100%.

Nehmen wir an, dieser Kristall hat volle Bänder , ein volles Valenzband und ein leeres Leitungsband. Angenommen, es gibt N Elektronen im Valenzband (N ist eine riesige Zahl), eines für jeden der N Valenzbandzustände. In Begriffen der linearen Algebra bilden die elektronischen Zustände im Valenzband einen N-dimensionalen Raum von Kets. Dieser Raum hat, wie jeder Raum in der linearen Algebra, unendlich viele verschiedene Basen. Es hat eine Basis der N Bloch-Zustände, die delokalisiert sind, und es hat beispielsweise auch die Basis von N Wannier-Orbitalen, die alle lokalisiert sind.

Sie können sagen: "In jedem delokalisierten Bloch-Zustand des Valenzbandes befindet sich ein Elektron". Ja, du hast Recht. Ich kann sagen "Es gibt ein Elektron in jedem lokalisierten Wannier-Zustand des Valenzbandes." Ich habe auch recht. Elektronen sind nicht unterscheidbar, es ist sinnlos, in dieser Situation einzelne Elektronen einzelnen Zuständen zuzuordnen und zu sagen, ob sie lokalisiert sind oder nicht.

Daher verrät uns das Material selbst in seinem perfekt isolierenden Zustand nicht, ob es sinnvoll ist, sich Elektronen als lokalisiert vorzustellen oder nicht. Wenn sich andererseits (sagen wir) ein Elektron im Leitungsband befindet, können Sie prüfen, ob es lokalisiert ist oder nicht.

Isolatoren wie Saphir werden normalerweise so beschrieben, dass sie lokalisierte Elektronen haben, denn wenn sich Strom durch sie bewegt, geschieht dies normalerweise über Elektronen, die zufällig lokalisierte Wellenfunktionen während des Bewegungsprozesses besetzen. Es liegt nicht daran, dass der Satz von Bloch nicht gilt. (Obwohl es möglicherweise nicht zutrifft.) Sie haben möglicherweise einen gewissen Strom, da Elektronen auch delokalisierte Zustände besetzen, aber es ist normalerweise ein viel geringerer Beitrag zum Strom als Elektronen, die während ihrer Bewegung lokalisierte Zustände besetzen (Hüpfen / Polaron / Anderson-lokalisiert , was auch immer).

Nein, die Elektronen sind nicht lokalisiert. Isolierung ist ein Effekt, der von Energie-/Bandstruktureigenschaften herrührt. Kohn-Sham-Orbitale (die Orbitale in einer Bandstruktur) sind im Allgemeinen delokalisiert.