Physikalische Bedeutung von Elektronen mit negativer effektiver Masse. Sind das Löcher oder was?

Was ist wirklich effektive Masse?
Effektive Masse entsteht durch Aufweitung der Energiedispersion in der Nähe ihres Minimums/Maximums, wo sie entsprechend positiv/negativ ist.

Das Energiespektrum eines kristallinen Festkörpers besteht aus Energiebändern endlicher Breite, die durch eine Energiedispersionsbeziehung beschrieben werden$\epsilon_n(\mathbf{k})$, Wo$n$ist der Bandindex und$\hbar\mathbf{k}$ist Quasi-Impuls - das ist nicht der wirkliche Impuls eines Elektrons, sondern eine Quantenzahl, die in den Satz von Bloch eingeht.

Nehmen wir der Einfachheit halber ein eindimensionales Band mit Dispersion

$$\epsilon(k) = \Delta\cos(ka).$$ Diese Band hat Minima bei$k=\pm\pi/a$und maximal bei$k=0$, und seine Breite ist$2\Delta$. Erweitern wir diese Energie-Quasi-Impuls-Beziehung um$k=0$, wir erhalten $$\epsilon(k)\approx\Delta -\frac{\Delta a^2 k^2}{2} = \Delta + \frac{\hbar^2k^2}{2m^*},$$ wo die effektive Masse definiert ist als $$m^*=-\frac{\hbar^2}{\Delta a^2}.$$ Die effektive Masse wird in Analogie zur Freie-Elektronen-Dispersionsrelation eingeführt $$\epsilon(k) = \frac{p^2}{2m*} = \frac{\hbar^2k^2}{2m},$$ und vereinfacht Berechnungen, wenn sich die Elektronen tatsächlich in der Nähe der Bandextrema befinden.

Wenn wir stattdessen die Dispersionsrelation nahe ihrem Minimum erweitern wollten, könnten wir schreiben$k=\pm\pi/a + q$, und erhalten

$$\epsilon(k) = \Delta\cos(\pm\pi + qa) = -\Delta\cos(qa) \approx\Delta +\frac{\Delta a^2 q^2}{2} = \Delta + \frac{\hbar^2q^2}{2m^*}.$$

Bei einem realen Halbleiter interessieren uns normalerweise die Phänomene nahe dem Maximum des Valenzbandes, das bis oben mit Elektronen gefüllt ist, und dem Boden des Leitungsbandes, das leer ist. Daher ist die effektive Masse im Leitungsband positiv, während sie im Valenzband negativ ist. Da in realen Materialien die Energiebänder eine komplizierte Form haben, haben wir es oft mit dem effektiven Massentensor zu tun , der sich aus der Erweiterung der dreidimensionalen Energie-Impuls-Beziehung ergibt:

$$\epsilon(\mathbf{k}) \approx \epsilon(0) + \frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial^2\epsilon(\mathbf{k})}{\partial k_i\partial k_j}|_{\mathbf{k}=0}k_i k_j = \epsilon(0) + \sum_{i,j}\frac{\hbar^2k_ik_j}{2m_{ij}^*},\\ \frac{1}{m_{ij}^*} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2\epsilon(\mathbf{k})}{\partial k_i\partial k_j}|_{\mathbf{k}=0}$$ (genauer gesagt, es ist die inverse effektive Masse, die Tensoreigenschaften hat.) Darüber hinaus treten in einem realen Material die Unterkante des Leitungsbandes und die Oberkante des Valenzbandes nicht unbedingt am selben Punkt im k-Raum auf.

Effektive Masse in der Nähe der Ränder der Brillouin-Zone
Wenn wir uns schließlich vom Bandextremum entfernen, ist die Erweiterung nicht mehr gültig. Die effektive Masse weicht jedoch nicht ab$k=\pm\frac{\pi}{2a}$, da es keine Funktion von ist$k$, aber der Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt (dh einem Bandextremum):

$$m^*=\hbar^2\left(\frac{d^2E(k)}{dk^2}\right)|_{k=0},$$ es ist nicht $$m^*(k)=\hbar^2\left(\frac{d^2E(k)}{dk^2}\right).$$

Löcher vs. Elektronen mit negativer effektiver Masse
Löcher sind Leerstellen im Valenzband, die man erhält, indem man ein paar Elektronen an der Spitze entfernt. Alle Elektronen an der Spitze des Valenzbandes haben eine negative effektive Masse, also sind Löcher mehr als nur Elektronen mit einer negativen effektiven Masse. Tatsächlich sind Löcher ziemlich komplexe Vielteilchenanregungen.