Gefülltes Band kann keinen Strom erzeugen

In der Festkörperphysik bei T = 0 K In Anbetracht der halbklassischen Näherung für Elektronen verstehe ich physikalisch, dass sich die Elektronen nicht bewegen können und es keine Leitung gibt, sodass kein Strom fließt, wenn ein Band vollständig gefüllt ist. Und wenn das Band leer ist, kann natürlich kein Strom fließen, weil es keine Elektronen gibt, die sich bewegen können. Aber ich kann nicht verstehen, warum die mathematische Bedingung für ein vollständig gefülltes oder leeres Band ist

∭ B R ich l l Ö u ich N Z Ö N e 2 ⋅ D 3 k → ( 2 π ) 3 ⋅ v G ( k → ) = 0

Wo v G ( k → ) = ∇ → k → [ ϵ ( k → ) ] ist die Gruppengeschwindigkeit.

Antworten (1)

v G ( k ) ist die Geschwindigkeit des Elektrons im Zustand k . Den vollen Strom, der von allen Elektronen getragen wird, erhält man durch Integration über alle gefüllten Zustände der Brillouin-Zone:

J ∝ ∫ BZ v G ( k ) N ( k ) D 3 k ,
In vielen Berechnungen N ( k ) ist nur die Fermi-Funktion
N ( k ) = 1 e β ( E ( k ) − μ ) + 1 ,
Wenn wir jedoch von einem vollständig gefüllten Band bei Nulltemperatur sprechen, ist der Besetzungsfaktor 1 überall in der Brillouin-Zone, dh unser Integral wird einfach
J ∝ ∫ BZ v G ( k ) D 3 k = 0 ,
denn wenn es nicht Null wäre, hätten wir einen Strom ungleich Null.

Beispiel
Betrachten wir eine eindimensionale Tight-Binding-Kette mit dem Dispersionsgesetz

E ( k ) = − Δ cos ⁡ ( k A ) ,
Wo 2 Δ ist die Bandbreite und A ist der Gitterabstand.
Die Brillouin-Zone ist
− π A ≤ k ≤ π A ,
wohingegen die Elektronengruppengeschwindigkeit ist
v G = − 1 ℏ ∂ E ( k ) ∂ k = Δ A ℏ Sünde ⁡ ( k A )
Das Integral
∫ B Z v G ( k ) D k = ∫ − π A π A Δ A ℏ Sünde ⁡ ( k A ) D k
Null ist, da eit ein Integral über eine ungerade Funktion in symmetrischen Grenzen ist.

Könnten Sie bitte mit Mathematik (oder einem einfachen Beispiel) erklären, warum das Integral der Geschwindigkeit über der Brillouin-Zone Null ist, wenn das Band vollständig gefüllt ist? Das Hauptproblem ist, dass, wenn mir jemand einen Ausdruck für die Energie des Bandes / die Geschwindigkeit der Welle gibt, ich mir nicht sicher bin, ob die Grenzen der Integrale null oder nicht null sind
@ user239504 Ich habe ein Beispiel hinzugefügt.
Tut mir leid, weitere Fragen hinzuzufügen, aber nur um es vollständig zu verstehen, in diesem speziellen Beispiel bei T = 0K spielt es keine Rolle, ob die Band voll ist oder nicht, richtig? Beispielsweise gelten die Integrationsgrenzen für eine bestimmte Energie E 0 im Sortiment ( − k 0 , + k 0 ) , also ist der Strom aus Symmetriegründen immer Null, oder übersehe ich etwas?
@ user239504 For example, the limits of integration are for a specific energy E0 in the range (−k0,+k0), so the current is always zero by symmetry- Das passiert bei einem elektrischen Feld von Null, und dort ist der Strom offensichtlich Null. Wenn Sie ein elektrisches Feld anlegen, ändert sich der Füllfaktor geringfügig (ungefähr die Zustände zwischen ( − k 0 + ϵ , k 0 + ϵ ) gefüllt bleiben), und dort ist der Strom für ein teilweise gefülltes Band ungleich Null. Bei einem gefüllten Band können sich die Elektronen jedoch nicht neu verteilen, und der Strom bleibt selbst in einem elektrischen Feld ungleich Null weiterhin Null.
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