Bedeutet die Verschiebung des Fermi-Energieniveaus eines intrinsischen Halbleiters, dass n≠pn≠pn \neq p?

In den Büchern, die ich konsultiert habe, wurde betont, dass für einen intrinsischen Halbleiter N = P .

Vor diesem Hintergrund leiten sie jedoch auch die folgende Gleichung ab:

E F ich = E C + E v 2 + 3 4 k B T ln ⁡ ( M H ∗ M e ∗ ) ( 1 )
Welches wäre das Fermi-Energieniveau eines intrinsischen Halbleiters, abhängig von der Temperatur. Das bedeutet, dass für einen intrinsischen Halbleiter E F etwas aus der Mitte verschoben wäre, wenn die Massen der Löcher und Elektronen unterschiedlich sind (im Allgemeinen sind sie es).

Das hat Auswirkungen, wenn wir rechnen wollen N Und P , was nicht gleich wäre, weil sie von diesem Energieniveau abhängig sind. Ich vermute, dass dies ein Widerspruch ist, weil Sie mit der Annahme von beginnen N = P aber wenn Sie sie mit (1) berechnen wollen, erhalten Sie am Ende, dass sie sind N ≠ P . Warum das? Was ist richtig?

Überspringen Sie die folgende Ableitung, wenn Sie die Abhängigkeit von bereits kennen N Und P An E F .

N = 2 ∫ E C ∞ G C ( E ) 1 + e E − E F k B T   D E = 2 ∫ E C ∞ G C ( E ) 1 + e E − E C + E C − E F k B T   D E
Änderung der Variablen: X = E − E C k B T Und ξ N = E C − E F k B T ; und angenommen, dass dies für einen 2D-Halbleiter gilt G 2 D ist unabhängig von E:
N = 2 G 2 D k B T ∫ 0 ∞ 1 1 + e X e ξ N   D X
Dasselbe gilt für p mit denselben Argumenten und mit ξ P = E F − E v k B T :
P = 2 ∫ − ∞ E v G C ( E ) 1 + e E F − E k B T   D E = 2 G 2 D k B T ∫ 0 ∞ 1 1 + e X e ξ P   D X
Am Ende haben wir also
N = F 0 ( ξ N ) A N D P = F 0 ( ξ P ) , ξ N ≠ ξ P
Wo F J ( − ξ ) ist das vollständige Fermi-Dirac-Integral

Wenn die effektiven Massen nicht gleich sind (normalerweise wahr), bewegt sich die Fermi-Energie mit der Temperatur.
@JonCuster Ich habe das bereits in der Post gesagt, meine Frage ist, ob das p≠n impliziert.

Antworten (1)

Ihre Gleichung 1 wurde mit einer Näherung für das Fermi-Dirac-Integral abgeleitet und für 3D abgeleitet. Das heißt, sie benutzten F 1 2 ( η C ) ≈ π 2 e η C , die für viele interessante Situationen geeignet ist. Sie erhalten nicht die erwartete Antwort, weil Sie in 2D arbeiten (und nicht dieselbe Annäherung vornehmen). Als Referenz siehe Robert Pierrets Semiconductor Device Fundamentals Abschnitt 2.5.1 und 2.5.6.

FWIW, in 2D können Sie das relevante Fermi-Dirac-Integral genau ausführen , daher ist meiner Meinung nach keine Annäherung erforderlich. Allerdings kenne ich das 2D-Äquivalent Ihrer ersten Gleichung nicht aus der Hand. Es sollte jedoch einfach abzuleiten sein, indem man den Schritten in Pierret folgt. Ich vermute, es steht irgendwo in John Davies ' The Physics of Low-dimensional Semiconductors , aber ich habe keine Kopie davon zur Hand.

Ich habe einige Seiten von John Davies' Buch durchgeblättert und denke, dass es mir sicherlich sehr helfen würde, da das Problem, das ich hatte, in 2D lag, danke. Die Sache ist, dass Sie selbst für einen intrinsischen 3D-Halbleiter immer noch etwas geben müssen F 1 / 2 ein Argument, das für p und n unterschiedlich ist, was zu n≠p führt, und das nervt mich immer noch.
Der Grund dafür, dass das Argument für Elektronen und Löcher unterschiedlich ist, ist, dass ein Loch die Abwesenheit eines Elektrons ist. Also, wenn Elektronen eine gewisse Verteilung haben F ( E ) , dann haben Löcher eine Verteilung 1 − F ( E ) . Da die Verteilung eine Fermi-Dirac-Verteilung ist, können Sie das zeigen 1 − F ( E ) = F ( − E ) . Mit anderen Worten, Löcher haben ein umgekehrtes Vorzeichen im Argument. Dieses umgekehrte Vorzeichen überträgt sich auf die Fermi-Dirac-Integrale, und das ist im Grunde der Unterschied in der Argumentation. Eine Referenz zum Vorzeichenwechsel finden Sie in JM Zimans Principles of the Theory of Solids, Abschnitt 4.6.
Ich möchte hinzufügen, dass dieser Abschnitt in Ziman eine gute Referenz für viele der hier besprochenen Dinge ist. Es behandelt im Grunde dasselbe wie Pierret, aber strenger und kompakter. (Kein Wunder, da sich Zimans Buch an Doktoranden richtet – im Grunde das gleiche Niveau wie Ashcroft und Mermin – und Pierret an Studenten im Grundstudium.)
Ich habe darüber nachgedacht 1 − F ( E ) = F ( − E ) Beachten Sie bei der Ableitung, dass innerhalb des Exponentials von N es gibt E − E F Und P hat E F − E .
Okay, ich habe mein Problem überwunden. Das hatte ich vermutet G 2 D war das gleiche in beiden Fällen, aber wenn Sie haben M e ≠ M H so unterschiedlich, dass sie einen ausreichend großen Beitrag im Logarithmus haben (der Ausdruck für E F ich ist ja in 2D anders) dann der unterschied G N ≠ G P wäre auch groß genug, um n und p zu ändern. In der Tat ξ N ≠ ξ P Und G N ≠ G P aber wenn man alles vermischt, bekommt man N = P , das ist eine schöne Antwort.
Bedeutet die Verschiebung des Fermi-Energieniveaus eines intrinsischen Halbleiters, dass n≠pn≠pn \neq p?
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