Ferminiveau und chemisches Potential in dotierten und reinen Halbleitern

Kürzlich habe ich mich mit der Bandtheorie von Halbleitern beschäftigt und habe einige Fragen.

Ich habe zwei Definitionen des Fermi-Niveaus gefunden

1 ) Der Quantenzustand, der eine Besetzungswahrscheinlichkeit von hat 0,5

(aus meinem Buch)

2 ) Das Fermi-Niveau eines Körpers ist die thermodynamische Arbeit, die erforderlich ist, um dem Körper ein Elektron hinzuzufügen

(aus Wikipedia )

Überall, wo vom Fermi-Niveau eines Halbleiters die Rede ist, geschieht dies anhand des 1 st-Definition und der Fermi-Dirac-Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Meine Frage ist, ob das Fermi-Niveau eines Halbleiters in Bezug auf definiert werden kann 2 nd-Definition ( auch als chemisches Potential des Systems bekannt ) oder versagt diese Definition , wenn es um Halbleiter geht, weil bei Halbleitern (sowohl dotierten als auch reinen) das Fermi-Niveau in der Bandlücke liegt und das mich verwirrt , weil wie ein Elektron hinein kann der höchste besetzte Zustand im Valenzband (bitte bei annehmen 0 K) haben eine Energie, die irgendwo in der Bandlücke liegt.

Mein zweiter Zweifel ist, dass in einem extrinsischen Halbleiter (sowohl p-Typ als auch n-Typ) das extrinsische Fermi-Niveau überall auch in Bezug auf die 1. Definition definiert ist.

( Bitte beachten Sie, dass ich davon ausgehe 0 K )

Aber wenn wir die betrachten 2 nd Definition unter Verwendung des chemischen Potentials, sollte das Fermi-Niveau (in einem p-dotierten Typ) nicht über das intrinsische Fermi-Niveau steigen, anstatt irgendwo in der Mitte des Akzeptors und des Valenzbandes zu liegen? Denn im Fall von dotierten Halbleitern, egal ob p-Typ oder n-Typ, fügen wir Dotierstoffatome in das System ein, das jetzt mehr Atome und damit mehr Elektronen zusätzlich zu den Elektronen im Valenzband der hat Intrinsischer Halbleiter, also fügen wir dem System beim Hinzufügen dieser zusätzlichen Elektronen des Dotierstoffs mehr Energie hinzu, und es sollte das Fermi-Niveau über die Mitte (intrinsisches Niveau) verschieben.

Aber es passiert nicht, da das Fermi-Niveau eines p-dotierten Halbleiters weit unter dem intrinsischen Niveau in der Nähe des Valenzbandes liegt (um genau zu sein, irgendwo in der Mitte des Akzeptors und des Valenzbandes ), also bin ich mir sicher etwas vermissen.

Warum will niemand vom chemischen Potenzial sprechen?

Ich habe einige andere Beiträge gefunden, von denen einige dies und das sind . Ich bin sie auch durchgegangen, aber ich denke, niemand spricht das wirklich an.

Bitte versuchen Sie, in Bezug auf das chemische Potenzial zu antworten, anstatt das Fermi-Niveau in Bezug auf die Fermi-Dirac-Wahrscheinlichkeitsverteilung neu zu definieren. Das wird mir sehr hilfreich sein.

Ich habe viel versucht, aber ich konnte nicht hinbekommen, was geht. Bitte helfen Sie mir, diese Sache zu verstehen.

Vielen Dank :)

Antworten (2)

Sie haben Recht, dass dies ein heikler Punkt sein kann, wenn es eine Lücke gibt, und ich denke, dass eine Reihe gängiger Definitionen in diesem Fall versagen. Bei Nulltemperatur wird es noch schwieriger.

Lassen Sie mich eine alternative Definition geben: das chemische Potential (Fermi-Niveau) μ ist eine Normalisierungskonstante, die die folgende Gleichung wahr macht:

N = ∫ D E G ( E ) 1 e E − μ k B T + 1 ,

Wo N ist die Anzahl der Teilchen in Ihrem System und G ( E ) ist die Zustandsdichte.

Wenn das System eine Lücke hat, bei Nulltemperatur, μ müssen nicht eindeutig definiert werden. Bei Nulltemperatur

N = ∫ D E G ( E ) H ( μ − E ) ,

Wo H ist die Stufenfunktion.

Seit G ( E ) = 0 für E in der Lücke, egal welcher Wert H in der Lücke hat. Also, wenn μ irgendwo in die Lücke fällt, könnte es genauso gut irgendwo anders in die Lücke fallen.

Beachten Sie, dass diese Besonderheit nur bei Nulltemperatur besteht! Bei jeder anderen Temperatur gibt Ihnen die Definition eine gut definierte μ . Ich würde mich also nicht auf den Nulltemperaturfall einlassen. Beachten Sie, dass in einfachen Fällen die obige Definition mit den von Ihnen aufgeführten übereinstimmt.

+1 Vielen Dank für die Antwort. Könnten Sie bitte ein wenig erläutern, ob es möglich ist, das chemische Potential (Fermi-Niveau) in Bezug auf die Energie des Elektrons im höchsten besetzten Quantenzustand (bei jeder anderen Temperatur) zu definieren? Ich meine, hängt das Fermi -Niveau wirklich mit der Energie zusammen des Elektrons auf andere Weise als Wahrscheinlichkeit (bei jeder beliebigen Temperatur)? Wie hat ein Elektron im Valenzband (HOMO) eine Energie, die einem Punkt in der Bandlücke entspricht?
Es ist ein wenig schwer zu sagen, was der höchste besetzte Zustand bei einer Temperatur ungleich Null ist; Wenn die Temperatur nicht Null ist, sollte jeder Zustand mit Wahrscheinlichkeit eine gewisse Wahrscheinlichkeit haben, besetzt zu werden ( e E − μ k B T + 1 ) − 1 . Da die Niveaus in vielen Halbleitersystemen effektiv kontinuierlich sind (anders als in Atomen oder Molekülen), ist es schwierig, eine Grenze zu ziehen, um zu sagen, welche Niveaus unbesetzt sind. Ich bin mir also nicht sicher, wie ich Ihre erste Frage interpretieren soll.
Zu Ihrer zweiten Frage, ja, ich glaube, dass das chemische Potential immer noch die Energie ist, die benötigt wird, um dem System ein weiteres Elektron hinzuzufügen ( μ = D E D N ). Das lässt sich mathematisch ziemlich einfach mit Maxwell-Boltzmann-Statistiken zeigen (ich glaube, ich habe es schon einmal auf Stack Exchange gepostet). Es sollte auch für die Fermi-Dirac-Statistik machbar sein, aber ich habe die Mathematik noch nicht gemacht.
Fragen Sie bei Ihrer dritten Frage, wie es sein kann, dass sich das chemische Potential in der Lücke befindet, wenn Sie einem nicht vollständig besetzten Zustand unterhalb der Lücke ein Elektron hinzufügen würden?
Ok, ich glaube, ich verstehe die Frage. Lassen Sie mich mit einer Frage beginnen: Wenn das chemische Potential in der Bandlücke liegt, warum sagen Sie dann, dass das neue Elektron in das Valenzband gehen muss? Wenn das System eine Temperatur ungleich Null hat, landet das hinzugefügte Elektron quasi „überall“, im durchschnittlichen Sinne: Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Zustand besetzt ist, steigt; einschließlich Zuständen im Valenz- und Leitungsband. Das chemische Potential ist eine Art gewichteter Durchschnitt aller möglichen Zustände, denen das Elektron hinzugefügt werden könnte, und dieser Durchschnitt kann in die Lücke fallen, selbst wenn das Elektron dies nicht kann.

Für gewöhnliche Halbleiter gibt es kein großes Problem. Das eigentliche Problem tritt bei Verbindungen auf, bei denen Korrelation wichtig ist.

Beispielsweise gibt es bei freien Atomen einen Unterschied zwischen dem Hinzufügen eines Elektrons (der Elektronenaffinität) und dem Entfernen eines Elektrons (der Ionisierungsenergie). Dasselbe gilt für Moleküle: das HOMO (höchstes besetztes Molekülorbital) und das LUMO (niedrigstes unbesetztes Molekülorbital). Es spielt eine Rolle in korrelierten Oxiden wie NiO.

Bei Halbleitern wie Silizium spielt es keine Rolle. Es wird immer Oberflächenzustände geben, die teilweise besetzt sind. Zustände, die sich in der Lücke der Bandstruktur der Masse befinden (hängende Bindungen usw.), die das Fermi-Niveau festlegen.

Und obwohl das Fermi-Niveau nur bei 0 K definiert ist, wird es in der Halbleiterterminologie auch bei höheren Temperaturen verwendet, wo der korrekte Begriff chemisches Potential wäre. Während die Dotierung das Fermi-Niveau bei niedriger Temperatur an eine Bandkante bringt, wird es durch eine ausreichend hohe Temperaturerhöhung in die Nähe der Mitte der Lücke gebracht, wenn die Konzentration der thermisch erzeugten Löcher und Elektronen vergleichbar ist.

+1 Vielen Dank für die Antwort. Was bedeutet hier also das Fermi-Niveau? Können wir es als chemisches Potential in einem Halbleiter (sowohl rein als auch dotiert) anstelle des Begriffs der Wahrscheinlichkeitsbesetzung verstehen?
@ user8718165 Ich habe ein bisschen erweitert. Ich bin mir nicht sicher, ob es die Frage beantwortet.
vielen Dank für die Beantwortung meiner Frage. Beide Antworten haben mir sehr geholfen.
Ferminiveau und chemisches Potential in dotierten und reinen Halbleitern
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