Effektive Theorien und unbeschränkte Operatoren

Wenn Sie zwei Operatoren haben, ist einer der wahre Hamiltonoperator$H$und einen nennen wir einen effektiven Hamiltonian$H_{eff}$und sagen, sie einigen sich auf jeden Eigenvektor mit Eigenwert bis zu$E_{eff}.$Darüber hinaus können sie sich nicht einig sein, wenn einer von beiden einen Eigenvektor mit Eigenwert hat$E<E_{eff}$dann ist es auch ein Eigenvektor des anderen Operators und mit demselben Eigenwert.

Dann verhalten sich alle diese Eigenvektoren mit Eigenwerten unterhalb dieser Grenze gleich, und die einheitliche Entwicklung, die sie erzeugen, wirkt sich auf die Spannweite dieser Vektoren gleich aus.

Wenn wir keine Beweise dafür haben, dass einer von beiden richtig ist (oder sogar wissen, welcher richtig ist), dann ist es nicht so, dass wir experimentell nur den Raum untersucht haben, der von den Eigenvektoren mit Eigenwerten kleiner als aufgespannt wird$E_{eff}$?

Nun kann es Vektoren mit endlicher Erwartung geben, wo sie nicht übereinstimmen. Und sogar Vektoren, die einen Erwartungswert von weniger als haben$E_{eff}$wo sie anderer Meinung sind. Aber diese sind immer noch nicht zugänglich, wenn wir nicht mit so hoher Energie interagieren können. Wenn$E_{eff}$Ist$10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}}J$dann können wir es nicht sehen.

Und sicher ist unser reduzierter Bereich, in dem die beiden Operatoren übereinstimmen, nicht der gesamte Raum, sodass die Eigenvektoren nicht für den gesamten Raum vollständig sind. Aber auch hier ist der größere Raum experimentell nicht zugänglich.

Unsere Theorien handeln von dem, was wir testen. Da also einer von ihnen begrenzt sein könnte und wir den Unterschied zwischen ihnen nicht erkennen können, was bieten uns unbeschränkte Operatoren außer der Bequemlichkeit?

Bearbeiten Sie für Antworten, die kanonische Kommutierungsoperatoren hervorbringen.

Ist nicht$\hat x$schon unbegrenzt? Ich stimme zu, dass Sie unbegrenzte Operatoren mögen, wenn Sie unbegrenzte Operatoren mögen. Das scheint aber etwas zirkulär zu sein. Stellen Sie sich vor, ich spreche mit einem Experimentator und versuche, ihn davon zu überzeugen, etwas über unbegrenzte Operatoren zu lernen, aber er sagt mir, es sei nur Mathematik und keine Physik. Was soll ich sagen?

Ich stimme zu, dass die Leute das mögen$\hat x$Operator, weil sie dann über alle möglichen Korrespondenzen mit der klassischen Mechanik sprechen können. Aber nehmen Sie an, jemand hat bereits grundlegende Quantenmechanik gelernt und ist glücklich und glücklich mit jedem bestimmten Operator, der einem realen Versuchsaufbau oder einer realen Beobachtung entspricht.

Aber sie werden keinen Energie-Eigenvektor mit einer Energie sehen, die ist$10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}}J.$Und sie werden nicht verwendet$\hat x$Sie werden einen Operator verwenden, der einem Bildschirm entspricht, der in einer kleinen, aber begrenzten Region funkeln kann, oder einen Geigerzähler, der in eine kleine, aber begrenzte Region passt, oder andere ähnliche realistische Geräte der realen Welt. Wenn sie sagen, dass unbegrenzte Operatoren sowieso zu kompliziert und irrelevant sind, was ist die beste Antwort?

Wie können wir eine physikalische Relevanz für reale Beobachtungen und reale Experimente erklären, die durchgeführt werden können? Fühlen Sie sich frei, davon auszugehen, dass dieselbe Person gegen Oberflächenladung und Linienladung protestiert.

Potenziell nützliche Annäherungen, aber keine echte Physik.

Zusätzliche Bearbeitung für Antworten, die kanonische Kommutierungsoperatoren hervorbringen.

Falls unklar ist, was es bedeutet, von den kanonischen Kommutierungsoperatoren nicht angeregt zu werden. Angenommen, wir haben einen Hilbert-Raum und eine Evolutionsgleichung und einige Operatoren, die mit Dingen übereinstimmen, die tatsächlich im Labor gemacht werden können, und wenn das bedeutet, dass wir sie nicht haben$\hat p_x$oder$\hat x$Das ist in Ordnung, solange wir die Operatoren für die Experimente haben, die wir tatsächlich durchführen können. Die Grundlage ist also, dass wir einen Satz von Vektoren in einem Hilbert-Raum haben und wissen, wie sie sich entwickeln, und wir wissen, wie sie sich verhalten, mit einer Familie von Operatoren, die reich genug ist, um alle Dinge einzuschließen, die wir tatsächlich im Labor tun können.

Das ist die direkte Beschreibung. Wenn Sie auf einer Verbindung zu dem Raum und den Operatoren bestehen, an die Sie gewöhnt sind, können Sie sich das vielleicht als Experimentator vorstellen, der mit so etwas wie dem Quotienten mit dem Unterraum von Dingen arbeitet, die von ihrer Ausrüstung nicht unterschieden oder aufgelöst werden können.