Gültigkeit der Bogoliubov-Transformation

1) Lassen Sie uns die Momentum-Indizes ersetzen${\bf k}$Und$-{\bf k}$mit abstrakten Indizes$1$Und$2$, und ignorieren Sie die Impulssumme. Der Hamiltonianer liest dann

$$\tag{1}H ~=~ \begin{pmatrix}a_1^{\dagger} & a_2\end{pmatrix} M\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2^{\dagger}\end{pmatrix},$$

Wo

$$\tag{2} M~:=\begin{pmatrix}A & B\\B^{*} & A \end{pmatrix}~=~M^{\dagger}, \qquad A~\in~ \mathbb{R},\qquad B~\in~ \mathbb{C}.$$

Eine Bogoliubov-Transformation ist auf dem Formular

$$\tag{3} \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2^{\dagger}\end{pmatrix} ~=~U \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2^\dagger\end{pmatrix}, \qquad U~:=~\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\u_{21} & u_{22}\end{pmatrix}.$$

Da eine Bogoliubov-Transformation die kanonischen Kommutatorbeziehungen (CCR) bewahren sollte, ist es einfach, diese Transformationsmatrix zu überprüfen$U$muss zur Lie-Gruppe gehören

$$\tag{4} U(1,1) ~:=~\{U\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid U^{\dagger}\eta U~=~\eta \},$$

Wo

$$\tag{5} \eta ~:=~\begin{pmatrix}1& 0\\0 & -1\end{pmatrix}$$ ist der $1+1$dimensionale Minkowski-Metrik. Die Lügengruppe $U(1,1)$von Bogoliubov-Transformationen ist real und nicht kompakt, und das ist sie $4$-dimensional. Tatsächlich kann man beweisen, dass ein Element $U\in U(1,1)$ist von der Form

$$\tag{6} U~=~\begin{pmatrix}u & v\\wv^* & wu^*\end{pmatrix},$$

Wo

$$\tag{7}u,v,w~\in~\mathbb{C},\quad |u|^2-|v|^2~=~1 \quad\text{and}\quad |w|~=~1.$$

Der Hamiltonoperator wird dann von der Form

$$\tag{8} H ~=~ \begin{pmatrix}b_1^{\dagger} & b_2\end{pmatrix} N\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2^{\dagger}\end{pmatrix},$$

Wo

$$\tag{9} N~:=~U^{\dagger}MU~=~N^{\dagger}.$$

Satz I: Wir haben die folgenden zwei Invarianten unter Bogoliubov-Transformationen:

$$\tag{10} \det(N) ~=~\det(M)~=~A^2-|B|^2.$$

$$\tag{11} {\rm tr}(\eta N) ~=~{\rm tr}(\eta M)~=~0.$$

Beweis von Gl. (11): Verwenden Sie das$\eta N= U^{-1}\eta MU$Und$\eta M$sind über eine Ähnlichkeitstransformation verbunden.$\Box$

Folge Ia:

Das neue$2\times 2$Matrix$N$ist von der Form

$$\tag{12} N~:=\begin{pmatrix}A^{\prime} & B^{\prime}\\B^{\prime *} & A^{\prime} \end{pmatrix}~=~N^{\dagger}, \qquad A^{\prime}~\in~ \mathbb{R},\qquad B^{\prime}~\in~ \mathbb{C}.$$

Es stellt sich heraus, dass die Behauptung von OP in der Frageformulierung zur Diagonalisierbarkeit richtig ist, vgl. das folgende Korollar Ib.

Folge Ib:

(i) Das Neue$2\times 2$Matrix$N$kann nur diagonal sein, wenn$|A|>|B|$oder$B=0$.

(ii) Das Neue$2\times 2$Matrix$N$kann nur außerdiagonal sein, wenn$|A|<|B|$oder$A=0$.

(iii) Wenn$|A|=|B|\neq 0$, dann das neue$2\times 2$Matrix$N$ist weder diagonal noch außerdiagonal.

Beweis von (i): Die Diagonalmatrix$N$befriedigen muss

$$\tag{13} 0~\leq~ A^{\prime 2} ~=~ \det(N) ~=~\det(M)~=~A^2-|B|^2.$$

Somit$|A|>|B|$oder$|A|=|B|$. Im letzteren Fall$A^{\prime}=0$, So$N=0$, und daher$M=0$, und besonders$B=0$.$\Box$

Die Beweise von (ii) und (iii) bleiben als Übungen übrig.

3) Wir werden als nächstes argumentieren, dass der Fall$A<|B|$ist physikalisch nicht relevant, vgl. Satz II.

Satz II:

(i) Der Hamiltonoperator$H$ist positiv definit wenn$A >|B|$.

(ii) Das Spektrum von$H$ist nichtnegativ, wenn$A\geq |B|$.

(iii) Das Spektrum von$H$ist nach unten unbeschränkt, wenn$A < |B|$.

Ein Beweis von Theorem II bleibt als Übung übrig. Ein Beweis auf klassischem Niveau kann durch Austausch der Operatoren geführt werden$a_1$Und$a_2$mit den entsprechenden klassischen komplexen Variablen, und untersuchen Sie dann die Signatur der Hesse-Funktion für die entsprechende klassische Hamilton-Funktion.

4) Schließlich kann die Bogoliubov-Transformation (3) in eine spezielle relativistische Sprache gegossen werden. Man kann sich die Matrix ansehen$M$, oder gleichwertig$(A,B)$, als Punkt in$1+2$dimensionaler Minkowski-Raum mit Zeitkoordinate$A\in \mathbb{R}$und Raumkoordinaten$B\in \mathbb{C}\cong \mathbb{R}^2$. Die unveränderliche Minkowski-Länge

$$\tag{14} \det(M)~=~A^2-|B|^2$$

wird unter der Aktion aufbewahrt

$$\tag{15} \rho:U~\mapsto~ (U^{-1})^{\dagger}MU^{-1}$$

der Lie-Gruppe$U(1,1)$der Bogoliubov-Transformationen. Deshalb$\rho$ist ein Homomorphismus der Lie-Gruppe

$$\tag{16} \rho: \quad\to\quad O(1,2;\mathbb{R})$$

in die$3$-dimensionale Lorentzgruppe$O(1,2;\mathbb{R})$. Die Bedingung$|A| >|B|$($|A| < |B|$) ist die Bedingung dafür, ein zeitartiger (raumartiger) Vektor zu sein. Intuitiv kann die Beobachtung von OP bezüglich der Diagonalisierbarkeit als die Tatsache verstanden werden, dass man einen raumartigen Vektor nicht durch eine Lorentz-Transformation in einen zeitartigen Vektor umwandeln kann.