Umgang mit Tensorprodukten in einem Exponenten

Question

Umgang mit Tensorprodukten in einem Exponenten

ChrisM

Ich sehe mir das folgende Problem an und habe Mühe, die erforderlichen Schritte zu befolgen. Betrachten Sie den nicht-wechselwirkenden Hamiltonoperator

H_{A B} = H_{A} \otimes {ICH}_{B} + {ICH}_{A} \otimes H_{B}

$H_{AB}=H_A\otimes I_B+I_A\otimes H_B$

Ich versuche also zu beweisen, dass die einheitliche Entwicklung des gemeinsamen Zustands gegeben ist durch

| ψ (T) ⟩_{A B} = e^{- ich H_{A} T} \otimes e^{- ich H_{B} T} | ψ (T = 0) ⟩_{A B}

$|\psi\left(t\right)\rangle_{AB}=e^{-iH_At}\otimes e^{-iH_Bt}|\psi\left(t=0\right)\rangle_{AB}$

Wo $|\psi\rangle_{AB}=|\psi\rangle_A \otimes |\psi\rangle_B$

Meine bisherige Arbeitsweise ist

| ψ (T) ⟩_{A B} = e^{- ich (H_{A} \otimes {ICH}_{B} + {ICH}_{A} \otimes H_{B}) T} | ψ (T = 0) ⟩_{A B}

$|\psi\left(t\right)\rangle_{AB}=e^{-i\left(H_A\otimes I_B+I_A\otimes H_B\right)t}|\psi\left(t=0\right)\rangle_{AB}$

= e^{- ich (H_{A} \otimes {ICH}_{B}) T} e^{- ich ({ICH}_{A} \otimes H_{B}) T} | ψ (T = 0) ⟩_{A B}

$=e^{-i\left(H_A\otimes I_B\right)t}e^{-i\left(I_A\otimes H_B\right)t}|\psi\left(t=0\right)\rangle_{AB}$

Da die beiden Hamiltonianer für die beiden Systeme pendeln, bin ich ab hier etwas verwirrt, ich weiß, der nächste Schritt muss sein

= (e^{- ich H_{A} T} \otimes {ICH}_{B}) ({ICH}_{A} \otimes e^{- ich H_{B} T}) | ψ (T = 0) ⟩_{A B}

$=\left(e^{-iH_A t}\otimes I_B\right)\left(I_A\otimes e^{-iH_B t} \right)|\psi\left(t=0\right)\rangle_{AB}$

Aber das ist mir überhaupt nicht klar, warum das so ist? Ich bin mir auch nicht sicher, ob dies hier nicht zum Thema gehört und besser für den Austausch von Mathe-Stacks geeignet wäre, also entschuldige ich mich im Voraus.

Durchgehend habe ich eingestellt $\hbar=1$ .

An diesem Punkt denke ich, dass ich wahrscheinlich die Definition des Matrix-Exponentials als Taylor-Reihe verwenden sollte, aber ich bin mir nicht sicher.

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Umgang mit Tensorprodukten in einem Exponenten

Tera · Answer 1

Ich habe diesen Beitrag gerade gefunden, weil ich durch denselben Schritt verwirrt war. Aber ich glaube, ich habe es jetzt mit Hilfe des Posts von @lionelbrits und des Kommentars von @Chris2807 verstanden. Fügen Sie dies nur der Vollständigkeit halber hinzu und helfen Sie vielleicht jemand anderem, der damit zu kämpfen hat:

\begin{aligned} e^{(H_{A} \otimes {ICH}_{B})} & = \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{(H_{A} \otimes {ICH}_{B})^{N}}{N!} \\ = {ICH}_{A} \otimes {ICH}_{B} + H_{A} \otimes {ICH}_{B} + \frac{1}{2} (H_{A} \otimes {ICH}_{B})^{2} + . . . \\ = {ICH}_{A} \otimes {ICH}_{B} + H_{A} \otimes {ICH}_{B} + \frac{1}{2} (H_{A} \otimes {ICH}_{B}) (H_{A} \otimes {ICH}_{B}) + . . . \\ = {ICH}_{A} \otimes {ICH}_{B} + H_{A} \otimes {ICH}_{B} + (\frac{1}{2} (H_{A})^{2} \otimes ({ICH}_{B})^{2}) + . . . \\ = ({ICH}_{A} + H_{A} + \frac{1}{2} (H_{A})^{2} + . . .) \otimes {ICH}_{B} \\ = e^{H_{A}} \otimes {ICH}_{B} \end{aligned}

$\begin{align} e^{(H_A \otimes I_B)} &= \sum_{n=0}^\infty\dfrac{(H_A \otimes I_B)^n}{n!} \\&= I_A \otimes I_B + H_A \otimes I_B + \dfrac{1}{2}(H_A \otimes I_B)^2 + ... \\&= I_A \otimes I_B + H_A \otimes I_B + \dfrac{1}{2}(H_A \otimes I_B)(H_A \otimes I_B) + ... \\&= I_A \otimes I_B + H_A \otimes I_B + \bigg(\dfrac{1}{2}(H_A)^2 \otimes (I_B)^2\bigg)+ ... \\&= (I_A + H_A + \frac{1}{2}(H_A)^2 + ... ) \otimes I_B \\&= e^{H_A}\otimes I_B \end{align}$

wo ich auch das -i und t weggelassen und das benutzt habe $(I_B)^n = I_B$ mit $n\in \mathbb{N}$ .

löwenbrits · Answer 2

Es ist wirklich offensichtlich, wenn Sie verstehen, wie Tensorprodukte funktionieren. Im Wesentlichen hat Ihr Zustand zwei Indizes anstelle von einem, und ein Tensorprodukt von Operatoren bedeutet, dass der erste Operator auf den ersten Index wirkt und der zweite Operator auf den zweiten. Der Bediener, der auf den "anderen" Index einwirkt, fährt einfach mit. Wenn es hilft, kannst du die Exponentialfunktion als Taylor-Reihe schreiben. Dann werden Sie mit vielen Kräften enden $I$ , die Sie einfach mit einklappen können $I^2 = I$ .

Der Vollständigkeit halber,

(U_{A} \otimes U_{B}) {| ψ ⟩}_{A} \otimes {| ψ ⟩}_{B} \equiv (U_{A} {| Ψ ⟩}_{A}) \otimes (U_{B} {| Ψ ⟩}_{B})

$\left(U_A \otimes U_B\right) \; \left|\psi\right\rangle_A \otimes \left|\psi\right\rangle_B \equiv \left(U_A \left|\Psi\right\rangle_A \right) \otimes \left(U_B \left|\Psi\right\rangle_B \right)$ Daher

\begin{aligned} {(U_{A} \otimes U_{B})}^{2} {| ψ ⟩}_{A} \otimes {| ψ ⟩}_{B} & \equiv (U_{A} \otimes U_{B}) (U_{A} \otimes U_{B}) {| ψ ⟩}_{A} \otimes {| ψ ⟩}_{B} \\ = (U_{A} \otimes U_{B}) (U_{A} {| Ψ ⟩}_{A}) \otimes (U_{B} {| Ψ ⟩}_{B}) \\ = (U_{A}^{2} {| Ψ ⟩}_{A}) \otimes (U_{B}^{2} {| Ψ ⟩}_{B}) . \end{aligned}

$\begin{align} \left(U_A \otimes U_B\right)^2 \; \left|\psi\right\rangle_A \otimes \left|\psi\right\rangle_B &\equiv \left(U_A \otimes U_B\right) \left(U_A \otimes U_B\right) \; \left|\psi\right\rangle_A \otimes \left|\psi\right\rangle_B\\ &= \left(U_A \otimes U_B\right)\;\left(U_A \left|\Psi\right\rangle_A \right) \otimes \left(U_B \left|\Psi\right\rangle_B \right) \\ &= \left(U_A^2 \left|\Psi\right\rangle_A \right) \otimes \left(U_B^2 \left|\Psi\right\rangle_B \right) .\\ \end{align}$

Ja, ich glaube, ich sehe es jetzt, ich werde mit so etwas zurückgelassen $I_B \otimes \left(I_A + H_A +\frac{1}{2!} H_A^2+... \right)$ welches ist $I_B \otimes e^{H_A}$ (fallen lassen $-i$ Und $t$ )

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ChrisM

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Tera

löwenbrits

ChrisM

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