Einfacher, 3×33×33 \times 3 Hamiltonoperator mit negativen Eigenwerten und ⟨H⟩=0⟨H⟩=0\langle H \rangle=0

Ich habe folgende Übung:

Betrachten Sie ein dreidimensionales System, dessen Hamilton-Operator durch die folgende Matrix beschrieben wird:

[ 0 − ich 0 ich 0 0 0 0 5 ]
a) Welche Werte sind bei der Energiemessung möglich?

b) Ein System befindet sich im Anfangszustand

| Ψ ( T 0 ) ⟩ = A [ 1 1 0 ]
Normalisieren | Ψ ( T 0 ) ⟩ und finde ⟨ H ⟩ .

Also habe ich für (a) die Eigenwerte von bestimmt H . Ich fand (beide manuell und dann in Mathematica eingecheckt) 1 , − 1 , 5 . Hier ist mein erstes Problem: Was bedeutet es, einen negativen Eigenwert zu haben? Ich hatte das nicht als großes Problem empfunden, bis ich es berechnet hatte ⟨ H ⟩ (Wieder mit Mathematica überprüft).

Ich habe überraschenderweise ⟨ H ⟩ = 0 . Ich habe Schwierigkeiten, diese Ergebnisse zu analysieren. Wie kann ich eine mittlere Energie haben, die gleich ist? 0 ? Würde das nicht bedeuten, dass es überhaupt keine Energie gibt? Ich kenne gebundene und streuende Zustände, aber sollten streuende Zustände nicht kontinuierlich sein? Ich fand auch heraus, dass in einigen Fällen von den gebundenen Zuständen gesagt wurde, dass sie positive Energie haben (z. B. harmonischer Oszillator).

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Der Ursprung der Energien ist unphysisch. Ergo, negativ vs. positiv zu sein, ist auch unphyisisch.
Kann ich beispielsweise noch eine Zerlegung des Anfangszustands in die Eigenvektoren dieses Hamiltonoperators durchführen und Wahrscheinlichkeiten berechnen?

Antworten (1)

Eigenwerte können negativ sein: Alle Eigenwerte des Wasserstoffatoms sind negativ und gegeben durch E N = − 13.6 N 2 eV.

Zu Ihrem Problem sind die Eigenzustände (wenn meine Algebra nicht falsch ist)

| 5 ⟩ = ( 0 0 1 ) , | − 1 ⟩ = 1 2 ( ich 1 0 ) , | 1 ⟩ = 1 2 ( − ich 1 0 )
Ihr Ausgangszustand ist also im Grunde genommen
| Ψ ( T 0 ) ⟩ = ( 1 − ich ) 2 | − 1 ⟩ + ( 1 − ich ) 2 | 1 ⟩
so wird der Durchschnittswert sein
⟨ H ⟩ = 1 2 ( − 1 ) + 1 2 ( 1 )
dh Ihr Anfangszustand ist mit Energie gleich wahrscheinlich zu finden − 1 und mit Energie + 1 , also der Durchschnitt 0 .

Deine Eigenzustände sind in der Tat korrekt. Ich fand auch den Durchschnitt 0 mit der gleichen Methode, die Sie verwendet haben. Danke.
@VitorCGoergen Natürlich kann man auch direkt rechnen A A ∗ ( 1 , 1 , 0 ) ⋅ H ⋅ ( 1 1 0 ) , was natürlich den gleichen Durchschnittswert ergibt. Die vorherige Methode veranschaulicht besser, warum Sie erhalten 0 : Es ist der Durchschnitt von +1 und -1 mit gleichen Wahrscheinlichkeiten.
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