Wie impliziert [A,B]=0[A,B]=0[A,B]=0 die Möglichkeit, die entsprechenden Eigenwerte gleichzeitig zu messen?

Nehme an, dass$\hat A$Und$\hat B$haben die gemeinsamen Eigenzustände$\psi_{A_i,B_j}$, dh

$$\hat A\psi_{A_i,B_j}=A_i\psi_{A_i,B_j}$$ $$\hat B\psi_{A_i,B_j}=B_j\psi_{A_i,B_j},$$ Wo $A_i$Und $B_j$sind die jeweiligen Eigenwerte. Aus den obigen Gleichungen haben wir $$\hat B\hat A\psi_{A_i,B_j}=A_i\hat B\psi_{A_i,B_j}=A_iB_j\psi_{A_i,B_j}$$ $$\hat A\hat B\psi_{A_i,B_j}=B_j\hat A\psi_{A_i,B_j}=B_jA_i\psi_{A_i,B_j}=A_iB_j\psi_{A_i,B_j},$$ Subtrahieren dieser ergibt also: $$[\hat A,\hat B]\psi_{A_i,B_j}=0.$$ Das bedeutet, dass zwei Operatoren mit demselben Satz von Eigenzuständen kommutieren müssen .

Die obige Aussage bedeutet, dass Sie gleichzeitig die Eigenwerte messen können$A_i$Und$B_j$. Das heißt, Sie können entweder zuerst messen$\langle\hat A\rangle$(und finde$A_i$) und dann messen$\langle \hat B\rangle$(und finde$B_j$) oder umgekehrt. Es spielt keine Rolle, welche physikalische Größe Sie zuerst messen.

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Aufgrund des entscheidenden Kommentars von @WillO erkläre ich die umgekehrte Vorgehensweise.

Nehme an, dass$[\hat A,\hat B]=0$, müssen wir zeigen, dass sie die gleichen Eigenzustände haben. Lassen

$$\hat A\psi_{A_i}=A_i\psi_{A_i}\qquad \Rightarrow\qquad \hat B\hat A\psi_{A_i}=\hat B(A_i\psi_{A_i})=A_i\hat B\psi_{A_i}\equiv A_i\phi .$$ Nun, aufgrund des Verschwindens des Kommutators haben wir das $$\hat B\hat A\psi_{A_i}=\hat A\hat B\psi_{A_i}=\hat A\phi$$ Aus der RHS der letzten Gleichungen haben wir das $$\hat A\phi=A_i\phi,$$ bedeutet, dass $\phi$ist auch ein Eigenzustand von $\hat A$mit Eigenwert $A_i$. Dies kann aus folgenden Gründen geschehen:

1. $\phi=c\psi_{A_i}$, mit$c$eine Konstante. Daher haben kommutierende Operatoren simultane Eigenzustände.
2. $\phi\neq c\psi_{A_i}$. In diesem Fall der Betreiber$\hat A$müssen entartete Eigenzustände haben, nämlich$\phi$Und$\psi_{A_i}$. Auch in diesem Fall sind die nicht entarteten Eigenzustände von$\hat A$gleichzeitig Eigenzustände von sind$\hat B$.

Wenn zwei Operatoren kommutieren, haben sie simultane Eigenfunktionen, dh dieselben Funktionen sind Eigenfunktionen dieser beiden Funktionen.

Wenn Sie zusätzlich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung heranziehen und sie in Verbindung mit der Varianzformulierung physikalischer Größen in QM verwenden , können Sie leicht feststellen, dass das Unsicherheitsprodukt zweier Operatoren ist$\hat A$Und$\hat B$, gehorcht:

$$( \sigma_A \ \sigma_B )^2 \geq \left( \frac{\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle}{2i} \right)^2$$

Dies wird als verallgemeinertes Unsicherheitsprinzip bezeichnet (siehe z. B. Griffiths, QM 2e/d Abschnitt 3.5 für eine detaillierte Herleitung.)

(Oder S. 108, hier , in einer älteren Fassung.)

Der Geist hinter dieser Aussage ist folgender: Alle nicht pendelnden Paare haben entsprechende Unsicherheitsprinzipien, die für sie definiert sind, dh sie sind nicht gleichzeitig bestimmbar, während diejenigen, die pendeln, kein solches Unsicherheitsprodukt haben, das auf sie anwendbar ist. Daher sind die Eigenwerte von$\hat A$Und$\hat B$, (hinsichtlich ihrer simultanen Eigenfunktionen) "gleichzeitig" bestimmt werden.