Bedeutet es etwas, wenn der Kommutator eines Operators mit dem Hamilton-Operator gleich dem Hamilton-Operator ist?

Bedeutet dies, dass der Betreiber$\hat O$(ein Observable) ist in irgendeiner Weise etwas Besonderes?

Ich glaube, es bedeutet, dass es so etwas nicht gibt$\hat O$.

Wenn$\hat O$einer Observablen entspricht, müssen die Eigenwerte reell sein.

Lassen$|o\rangle$sei ein Eigenket von$\hat O$mit reellem Eigenwert$o$:

$$\hat O |o\rangle = o |o\rangle$$

Betrachten Sie nun Folgendes

$$\hat O \hat H |o\rangle = (\hat H \hat O - [\hat H, \hat O])|o\rangle = \hat H o|o\rangle + 2i\hbar \hat H |o\rangle = (o + 2i\hbar)\hat H |o\rangle$$

Daher,$\hat H |o\rangle$ist ein Eigenket von$\hat O$mit komplexem Eigenwert$(o + 2i\hbar)$im Widerspruch zu der Forderung, dass die Eigenwerte von$\hat O$sind echt .

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$ $\newcommand{bra}[1]{\left< #1 \right|}$ $\newcommand{bk}[2]{\left< #1 | #2 \right>}$ $\newcommand{bok}[3]{\left< #1| #2 |#3\right>}$

Das bedeutet im Grunde, dass alle Energieeigenzustände einen Energieeigenwert von Null haben. UPS...

Lassen$\left| \psi \right>$sei ein normierter Energieeigenzustand mit Energieeigenwert$E_\psi$.

$$\bok{\psi}{[H,O]}{\psi}=\bok{\psi}{HO-OH}{\psi}=E_\psi \left\{ \bok{\psi}{O}{\psi} - \bok{\psi}{O}{\psi}\right\}=0$$ Andererseits:

$$\bok{\psi}{[H,O]}{\psi} = \bok{\psi}{2i\hbar H}{\psi} = 2i\hbar E_\psi = 0 \quad \forall \left| \psi \right>$$

$$\implies E_\psi=0 \quad \forall \left| \psi \right>$$

Angenommen, die Raum-Zeit-Gruppe enthält Dilatationen, die den Raum erweitern oder zusammenziehen. Punkte im Raum$x^{i}\in V_{3}$unter einer kleinen Dilatation transformieren$\epsilon$in der Nähe der Identität als,

$$\begin{equation} x'^{i}=x^{i}+\epsilon x^{i} \ . \end{equation}$$ Die Änderung der Koordinaten ist $$\begin{equation} \frac{d x^{i}}{d\epsilon}=x^{i} \end{equation}$$ In der Hamilton-Formulierung ist der Erzeuger von Dilatationen eine Phasenraumfunktion $O$so dass die PB, $$\begin{equation} \frac{dx^{i}}{d\epsilon}=[x^{i},O]_{PB}=\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k}}\frac{\partial O}{\partial p^{k}}-\frac{\partial x^{i}}{\partial p^{k}}\frac{\partial O}{\partial x^{k}}=\frac{\partial O}{\partial p^{i}}=x^{i} \end{equation}$$ Integrieren ergibt die Phasenraumfunktion als $$\begin{equation} O=p^{i}x^{i} \ . \end{equation}$$ Wenn die Raumzeitgruppe die Galileische Relativitätstheorie ist, ist der Hamiltonian: $$\begin{equation} H=\frac{p^{i}p^{i}}{2m} \ . \end{equation}$$ Der interessierende PB ist dann $$\begin{equation} [H,O]_{PB}=-\frac{\partial H}{\partial p^{k}}\frac{\partial O}{\partial x^{k}}=-\frac{p^{k}p^{k}}{m}=-2H \ . \end{equation}$$ Gehen Sie nun zur Quantenmechanik über, indem Sie die Phasenraumfunktionen durch Operatoren ersetzen, $$\begin{equation} [\hat{H},\hat{O}]=-2i\hat{H} \end{equation}$$ Dies stellt den Kommutator in der Frage wieder her und zeigt, dass er die Bedeutung einer Erweiterung der galiläischen Raumzeit hat.

Die anderen Antworten behaupten das$\hat{O}$nicht hermitesch ist oder nicht existiert. Jedoch,$\hat{O}$muss existieren und hermitesch sein, weil es der Erzeuger von Dilatationen in der affinen Raumzeit ist und alle affinen Räume – jene mit einem Begriff von Parallelität – zusätzlich zu Translationen Dilatationen haben (siehe Kapitel 13 von Coxeters „Introduction to Geometry“). Die Dilatationen sind ungewohnt, aber man kann einen ähnlichen Kommutator für den Boost einrichten$\hat{K}$und die Argumente in den anderen Antworten würden erneut laufen und sagen, dass die Boosts nicht hermitesch sind oder nicht existieren. Die Algebra für einen Boost lautet also:

$$\begin{equation} [\hat{K},\hat{P}]=i\hat{H} \end{equation}$$ $$\begin{equation} [\hat{K},\hat{H}]=i\hat{P} \end{equation}$$ Subtrahieren, $$\begin{equation} [\hat{P}-\hat{H},\hat{K}]=i(\hat{P}-\hat{H}) \ . \end{equation}$$ Dies ist dasselbe wie $[\hat{H},\hat{O}]=-2i\hat{H}$, modulo ein numerischer Faktor, mit $\hat{H}\rightarrow\hat{P}-\hat{H}$Und $\hat{O}\rightarrow \hat{K}$.