Der formale Weg, zwei hermitische Operatoren, die pendeln, gleichzeitig zu diagonalisieren?

Gegeben seien zwei hermitesche Operatoren A Und B , so dass [ A , B ] = 0 , wenn einer [oder beide] dieser Operatoren entartet sind, wie definiert man dann einen formalen Weg, um beide gleichzeitig zu diagonalisieren? Am besten, wenn möglich, mit einem Beispiel für die Methode.

Vorherige Chat-Diskussionen:

  1. Ich habe diese Frage vor einiger Zeit in der H-Leiste gestellt, und obwohl ich eine gute Antwort erhielt, denke ich, dass die Art der Kürze des Chats dazu führte, dass ich, als ich genauer darüber nachdachte, merkte, dass ich mir immer noch nicht ganz sicher war der ganzen Sache, und ich dachte, es wäre nett, diese Frage auf der Website zu stellen, da ich sie persönlich nicht finden konnte, als ich sie brauchte.

  2. Wird hier im hbar-Chatraum diskutiert .

  3. Vorherige Konversation im Chat zum Thema .

Ich verstehe nicht genau, wonach Sie fragen. Suchen Sie einen Beweis für die Aussage, dass zwei kommutierende hermitesche Matrizen gleichzeitig diagonalisiert werden können? Für eine Methode, um es von Hand mit Stift und Papier zu tun, wenn zwei Matrizen gegeben sind? Für ein computertaugliches numerisches Verfahren? Die drei Fragen werden sehr unterschiedliche Antworten haben.
Es scheint, dass OP fragt, wie man schlechte Basiswahlen aufgrund degenerierter Eigenwerte umgehen kann, wie zB dieser Phys.SE-Beitrag.

Antworten (4)

Für jedes Paar (Eigenraum für A , Eigenraum für B ), wählen Sie eine Basis für ihre Schnittmenge. (Insbesondere wenn eine Schnittmenge 0-dimensional ist, wird sie keine Basisvektoren haben/dazu beitragen.) Verketten Sie schließlich alle Basen.

@Qmechanic Wo kommt Kommutativität ins Bild? Warum verwenden wir nicht das Verfahren für Nichtpendler?
Ja, ich behaupte nicht, einen Beweis für die Aussage zu liefern. Ich habe die Frage von OP gelesen, da er nicht nach der Aussage selbst oder ihrem Beweis gefragt hat, sondern lediglich ein Verfahren wollte, um wann eine Grundlage zu erhalten [ A , B ] = 0 .
Ja, du hast recht...

Die einfachste Methode besteht darin, zuerst zu diagonalisieren A . Betrachten Sie dann der Reihe nach jeden Eigenwert λ und eine Basis des zugehörigen Eigenraums E λ : ( | 1 ⟩ , | 2 ⟩ , ⋯ , | N ⟩ ) . Anschließend konstruieren Sie die Matrix M B = ( ⟨ ich | B | J ⟩ ) 1 ≤ ich , J ≤ N . Für jeden Eigenwert gibt es eine solche Matrix λ , nur um das klarzustellen, aber ich werde davon absehen, a zu markieren λ Zu M B um die Notation lesbar zu halten. Zum Schluss diagonalisierst du M B . Dadurch erhalten Sie Eigenwerte μ 1 , ⋯ , μ N (nicht notwendigerweise verschieden) und Eigenvektoren u ich , die Spaltenvektoren sind,

u ich = ( u ich 1 ⋮ u ich N ) ,

so dass M B u ich = μ ich u ich . Dann konstruierst du | ich ' ⟩ = ∑ J u ich J | J ⟩ , und nun ( | 1 ' ⟩ , ⋯ , | N ' ⟩ ) sind Eigenvektoren für beide A , alle für den Eigenwert λ , und für B , für die jeweiligen Eigenwerte μ 1 , ⋯ , μ N .

Natürlich, wenn λ war in erster Linie nicht entartet, dh N = 1 , dann gibt es nichts zu tun! Wenn es degeneriert ist, meistens N klein sein wird, zumindest viel kleiner als die Dimension des Eigenproblems für A , also die Diagonalisierung von M B wird vergleichsweise einfach sein. Vergessen Sie dann wiederum nicht, dass Sie dies für jeden Eigenwert tun müssen λ von A . Natürlich könnte man auch mit Diagonalisieren beginnen B stattdessen: einfach tun, was einfacher aussieht.

Beachten Sie, dass es weitaus effizientere numerische Methoden gibt, die für große Matrizen einen großen Unterschied machen würden, aber für Ihr Brot-und-Butter-Quantensystem sollte die von mir hervorgehobene Methode nachvollziehbar sein.

Entschuldigung, ich verstehe nicht, was ( u ich J ) 1 <= J <= N bedeutet, was ist zum Beispiel u ich 2 ?
Aus dem vorherigen Gespräch im Chat mit OP, das in den Fragenkommentaren gefallen hat, bin ich mir nicht sicher, ob sie wirklich die Bedeutung und Wichtigkeit verstehen, diese Methode ausschließlich auf eine Basis des Eigenraums von zu beschränken A . Vielleicht ist es aber inzwischen angeklickt. Das heißt, (Fortsetzung)
Es ist ein bisschen irreführend zu sagen: „Sie konstruieren die Matrix M B ", weil es impliziert, dass es eine einzige solche Matrix gibt. Stattdessen gibt es eine solche Matrix pro Eigenraum von A . Ich würde dringend auf eine Notationsänderung drängen, um dies im Auge zu behalten.
Ich denke, die Aussage "Betrachte der Reihe nach jeden Eigenwert" ist klar genug, aber OK, ich kann eine Einschränkung hinzufügen ...

Ich nehme an, dass der Hilbert-Raum H ist endlichdimensional und ich gebe durch an H λ der Eigenraum von A mit Eigenwert λ und eine gewisse Dimension D λ ≥ 1 .

Du weißt, dass

(1) H λ ⊥ H λ ' Wenn  λ ≠ λ '
Und
(2) ⊕ λ H λ = H .

Die Grundidee ist, dass jeder H λ ist invariant unter der Wirkung von B , dh,

B ( H λ ) ⊂ H λ .
Das ist weil A ( B X ) = B A X = B λ X = λ ( B X ) Wenn X ∈ H λ .

Infolgedessen können Sie

(a) beschränken B Zu H λ und das bemerken B | H λ : H λ → H λ ist immer noch hermitesch, wie Sie leicht beweisen können,

(b) Finden Sie eine orthonormale Basis von H λ aus Eigenvektoren { X N ( λ ) } N = 1 , … D λ von B mit entsprechenden Eigenwerten μ N ( λ ) .

Beides variabel

  1. λ in der Menge der Eigenwerte von A Und
  2. N = 1 , … , D λ ,

aufgrund (1) und (2) die Menge aller Einheitsvektoren, die zueinander orthogonal sind X N ( λ ) bilden eine orthonormale Basis des Ganzen H .

Diese Basis besteht aus simultanen Eigenvektoren von A Und B Weil

A X N ( λ ) = λ X N ( λ )
Und
B X N ( λ ) = μ N ( λ ) X N ( λ ) .

Offensichtlich kann das passieren μ N ( λ ) = μ M ( λ ' ) für einige λ ≠ λ ' .

Entschuldigung, aber was genau bedeutet B | H λ / 'Beschränkung von B auf H λ bedeuten?
Es bedeutet, die Domäne von einzuschränken B zum Unterraum H λ und ansehen B als ein Operator, der auf einem kleineren Raum definiert ist, dh von H λ Zu H λ . Das macht schon deshalb Sinn B ( H λ ) ⊂ H λ . B | H λ gibt den Bediener an B als Betreiber im kleineren Raum betrachtet H λ .
Beachten Sie, dass dies genau das gleiche ist wie meine Antwort.
Es gibt eine Überschneidung, aber ich habe einige Anmerkungen hinzugefügt, die erklären, warum die Methode funktioniert, und ich bin nicht auf die Details des Diagonalisierungsverfahrens eingegangen, wie Sie es stattdessen getan haben. Vielleicht betraf die ursprüngliche Frage nur die praktische Vorgehensweise, sodass ich tatsächlich eine andere Frage beantwortet habe ...
Ja klar, die Bemerkung war für die OP!

Die nächsteinfachste Methode (besonders nützlich, wenn Sie nur ein numerisches Ergebnis benötigen) besteht darin, den Operator zu berücksichtigen

Ö = a A + β B
mit a Und β so gewählt Ö hat keine wiederholten Eigenwerte. Dann sind die Eigenvektoren von Ö simultane Eigenvektoren von sind A Und B .

Wenn einer oder beide A Und B dürfen entartet sein (laut OP), ist das nicht der Fall Ö wird notwendigerweise wiederholte Eigenwerte haben?
@LLlAMnYP Nimm
A = ( 2 0 0 0 2 0 0 0 − 1 ) , B = ( 1 0 0 0 3 0 0 0 3 ) ,
Dann A + 2 B hat keine wiederholten Eigenwerte.
Ok, meine Verwendung von "notwendigerweise" ist ein zu starkes Wort, aber ich sehe immer noch Fälle, in denen es unvermeidlich ist (zB in Ihrem Beispiel). B drei identische Eigenwerte haben, während A bleibt wie vorgeschlagen).
@LLlAMnYP In diesem Fall ist nichts zu tun, da jede Kombination von Eigenzuständen im gemeinsamen entarteten Unterraum ein Eigenzustand ist, dh die entarteten Eigenzustände von a A + β B sind nicht eindeutig definiert, da jede lineare Kombination davon auch ein Eigenzustand ist. Das gleiche Problem tritt bei jeder Methode auf. Sie würden einen dritten Operator benötigen, um die Entartung hoffentlich aufzuheben.
IOW, mehr Quantenzahlen sind notwendig, um einen Zustand eindeutig zu definieren. Aber das sollte uns sowieso nicht davon abhalten, beide zu diagonalisieren, oder? In Ihrem und meinem Beispiel sind beide bereits diagonalisiert.
@LLlAMnYP du hast Recht. Wenn Sie gemeinsame Unterräume in A und B haben, die degeneriert sind, stecken Sie fest: Sie können immer noch Kombinationen nehmen und sie sind immer noch Eigenvektoren. Dies ist unabhängig von der von Ihnen verwendeten Methode, da mathematisch jede Kombination von Eigenvektoren jeder anderen Kombination entspricht. Zu Ihrer Information, der Trick, den ich erwähne, wird funktionieren, außer unter den von Ihnen erwähnten Umständen. Die Schwierigkeit könnte darin bestehen, die Faktoren zu finden a Und β . Häufig sind die Eigenwerte von A Und B rational sind, also wählen Sie irrationale Faktoren für a Und β macht den Trick.
Nun, auf jeden Fall ist es eine elegante Methode, also können +1 und entartete Matrizen sowieso diagonalisierbar sein.
Nun, das passiert, wenn Sie darauf bestehen Ö ohne wiederholte Eigenwerte. In der Praxis glaube ich, dass für fast alle Wahlmöglichkeiten a Und β , eine diagonalisierende Matrix Ö = a A + β B diagonalisiert auch A Und B (egal wie viele sich wiederholende Eigenwerte sie haben).
Der formale Weg, zwei hermitische Operatoren, die pendeln, gleichzeitig zu diagonalisieren?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v