Weinbergs Methode zur Ableitung der Lie-Algebra bezieht sich auf eine Lie-Gruppe

So verstehe ich Weinbergs Diskussion:

Zunächst einmal: Weinbergs Worten folgend, sagt er nur, dass "eine solche Menge von Vertauschungsrelationen als Lie-Algebra bekannt ist". Er motiviert die Vertauschungsrelationen, indem er eine Darstellung betrachtet$U(T)$einer Lie-Gruppe$T$, aber er erläutert nicht die Beziehung zwischen diesen Begriffen. Die allgemein akzeptierte Terminologie muss von anderswo gelernt werden; Ich werde versuchen, es hier zu erweitern.

Beachten Sie, dass Mathematiker zwischen "einer Lie-Algebra" und "der einer Lie-Gruppe zugeordneten Lie-Algebra" unterscheiden.

Jede Algebra von Operatoren, die (2.2.22) erfüllt, ist „eine“ Lie-Algebra.

Aber für jede Lie-Gruppe$T$, gibt es "die" "allgemeinste" Lie-Algebra$\mathfrak{t}$die (2.2.22) erfüllt. Sie ergibt sich aus den Strukturkonstanten$f^a_{bc}$die Weinberg erwähnt. Beachten Sie, dass die Strukturkonstanten nicht von der Darstellung in einem Hilbert-Raum abhängen, sondern nur von der Lie-Gruppe$T$.

Um diese "allgemeinste" Lie-Algebra in Verbindung mit einer Lie-Gruppe zu finden, können Sie sich einen ganz speziellen Vektorraum ansehen, nämlich den Tangentenraum am Identitätselement$1\in T$. Die gemeinsame Darstellung der Gruppe auf diesem Feld führt zu einer Lügenklammer$[·,·]$auf diesem Vektorraum und verwandle ihn in besagte "allgemeinste" Lie-Algebra.

Zu deinen speziellen Fragen:

1. Weinberg erwähnt nur "eine Lie-Algebra", obwohl sie aus einer Gruppe stammt. Es ist "die" Lügenalgebra der Gruppe$U(T)$.
2. Im Allgemeinen ist jeder solchen Lie-Algebra ein homomorphes Abbild „der“ Lie-Algebra zugeordnet$T$. Diese Lie-Algebren sind voneinander verschieden; beispielsweise können die Vektorräume unterschiedliche Dimensionen haben.

3. Weinberg beruft sich aus folgendem Grund auf Wigners Theorem: a priori, die Symmetriegruppe$T$wirkt auf Strahlen . Denken Sie daran, dass der Vektor$|ψ\rangle$repräsentiert den gleichen physikalischen Zustand wie der Vektor$ξ|ψ\rangle$die durch Multiplikation mit einer beliebigen komplexen Zahl von Mannigfaltigkeiten entstehen$|ξ|=1$. Ein Strahl ist die Menge aller Vektoren, die auf diese Weise entstehen; sie repräsentieren alle den gleichen physikalischen Zustand.

   Nun bildet die Symmetrie physikalische Zustände auf physikalische Zustände ab, dh Mengen von Vektoren auf Mengen von Vektoren. Aber jede Symmetrieoperation darf Vektoren innerhalb der Menge permutieren, schließlich sind sie physikalisch nicht unterscheidbar. Es ist überhaupt nicht klar, dass eine Zuordnung$T_1$auf Strahlen können als Mapping umgeformt werden$U(T_1)$die auf einzelne Vektoren wirkt und linear ist . Das ist auch nicht klar$U(T_1T_2) = U(T_1)U(T_2)$, weil diese Operationen die Strahlen aufeinander abbilden können, aber sie könnten die Vektoren innerhalb eines Strahls ziemlich unterschiedlich permutieren, was sich in einer Phase manifestieren würde$U(T_1T_2)|ψ\rangle = ξ·U(T_1)U(T_2)|ψ\rangle$.

   Wir wollen aber, dass die Symmetrie auf einen Hilbert-Raum wirkt, weil dies uns erlaubt, den vertrauten Ausdruck für den Kommutator zweier Operatoren zu verwenden$[X,Y] = XY-YX$. Schließlich handelt es sich um die Addition (Subtraktion) zweier Operatoren, was für Symmetrien, die nur auf Strahlen wirken, nicht verfügbar ist.

   Ansonsten sind Hilbert-Räume für die Definition von Lie-Algebren oder Lie-Gruppen völlig unnötig.

   Die Frage, wie man alle Darstellungen einer Lie-Gruppe oder einer Lie-Algebra findet, geht über den Rahmen dieser Antwort hinaus. Es führt zu Themen wie halbeinfachen Lie-Algebren und deren Klassifikation.

4. Mathematiker erhalten die Lie-Algebra, die einer Lie-Gruppe zugeordnet ist, indem sie den Tangentenraum am Identitätselement berücksichtigen, wie oben erwähnt. Die Lie-Gruppe muss nicht verbunden sein, damit dies wohldefiniert ist. (Aber es ist nur nützlich, um den Teil der Gruppe zu untersuchen, der mit der Identität verbunden ist.)